Номер 5, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Элементы прикладной математики - номер 5, страница 75.

Условие.

5. Две строительные бригады, работая одновременно, могут заасфальтировать дорогу за 24 ч. Если первая бригада заасфальтирует самостоятельно $\frac{1}{4}$ часть дороги, а затем вторая — оставшуюся часть дороги, то вся работа будет выполнена за 45 ч. За сколько часов может заасфальтировать эту дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?

Решение.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие время, за которое каждая бригада может выполнить всю работу самостоятельно, и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — время в часах, необходимое первой бригаде для асфальтирования всей дороги. Тогда её производительность (часть дороги, асфальтируемая за 1 час) равна $\frac{1}{x}$.

Пусть $y$ — время в часах, необходимое второй бригаде. Тогда её производительность равна $\frac{1}{y}$.

1. Составление первого уравнения

Согласно условию, работая вместе, две бригады выполняют работу за 24 часа. Их совместная производительность равна сумме их производительностей. Вся работа принимается за 1. Получаем уравнение:

$$ \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \cdot 24 = 1 $$

Отсюда следует:

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} $$

2. Составление второго уравнения

По второму условию, первая бригада выполняет $\frac{1}{4}$ всей работы, а вторая — оставшуюся часть, то есть $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Время, которое первая бригада тратит на выполнение своей части работы: $t_1 = \frac{1/4}{1/x} = \frac{x}{4}$ часа.

Время, которое вторая бригада тратит на выполнение своей части работы: $t_2 = \frac{3/4}{1/y} = \frac{3y}{4}$ часа.

Общее время работы по этому сценарию — 45 часов. Составляем второе уравнение:

$$ t_1 + t_2 = 45 $$

$$ \frac{x}{4} + \frac{3y}{4} = 45 $$

3. Решение системы уравнений

Получили систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \\ \frac{x}{4} + \frac{3y}{4} = 45 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 4:

$$ x + 3y = 180 $$

Выразим $x$ через $y$:

$$ x = 180 - 3y $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ \frac{1}{180 - 3y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$$ \frac{y + (180 - 3y)}{y(180 - 3y)} = \frac{1}{24} $$

$$ \frac{180 - 2y}{180y - 3y^2} = \frac{1}{24} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$$ 24 \cdot (180 - 2y) = 1 \cdot (180y - 3y^2) $$

$$ 4320 - 48y = 180y - 3y^2 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ 3y^2 - 180y - 48y + 4320 = 0 $$

$$ 3y^2 - 228y + 4320 = 0 $$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$$ y^2 - 76y + 1440 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 76$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 1440$. Методом подбора находим корни: $y_1 = 36$ и $y_2 = 40$.

4. Нахождение времени работы для каждой бригады

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$, используя ранее полученную формулу $x = 180 - 3y$.

Вариант 1: Если $y_1 = 36$ часов (время работы второй бригады), то время работы первой бригады:

$$ x_1 = 180 - 3 \cdot 36 = 180 - 108 = 72 $$

В этом случае первая бригада выполнит работу за 72 часа, а вторая — за 36 часов.

Вариант 2: Если $y_2 = 40$ часов (время работы второй бригады), то время работы первой бригады:

$$ x_2 = 180 - 3 \cdot 40 = 180 - 120 = 60 $$

В этом случае первая бригада выполнит работу за 60 часов, а вторая — за 40 часов.

Оба набора значений являются решениями задачи.

Ответ: Существует два возможных варианта: первая бригада может заасфальтировать дорогу за 60 часов, а вторая — за 40 часов; либо первая бригада — за 72 часа, а вторая — за 36 часов.