Номер 5, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 5, страница 76.

Условие.

5. В классе учится 14 девочек и 13 мальчиков. Сколько существует способов сформировать команду из 6 человек для участия в спортивной эстафете, если в команде должно быть 3 девочки и 3 мальчика?

Решение.

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Поскольку порядок выбора учеников в команду не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Задача решается в три этапа: сначала находим количество способов выбрать девочек, затем — количество способов выбрать мальчиков, и, наконец, перемножаем полученные значения, чтобы найти общее число способов формирования команды.

1. Выбор девочек.
Нужно выбрать 3 девочки из 14. Количество способов сделать это вычисляется по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
В данном случае $n = 14$, $k = 3$.
$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 13 \cdot 14 = 364$ способа.

2. Выбор мальчиков.
Нужно выбрать 3 мальчика из 13. Используем ту же формулу сочетаний.
В данном случае $n = 13$, $k = 3$.
$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 13 = 286$ способов.

3. Общее количество способов.
Чтобы найти общее количество способов сформировать команду из 3 девочек и 3 мальчиков, нужно перемножить количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков (согласно правилу произведения).
Общее число способов = $C_{14}^3 \times C_{13}^3 = 364 \times 286 = 104104$.

Ответ: 104104.