Номер 6, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Элементы прикладной математики - номер 6, страница 75.

Условие.

6. В магазин завезли $54 \text{ кг}$ муки, расфасованные в пакеты по $4 \text{ кг}$, $5 \text{ кг}$ и $8 \text{ кг}$. Известно, что пятикилограммовых пакетов было меньше, чем восьмикилограммовых, а восьмикилограммовых пакетов меньше, чем четырёхкилограммовых. Сколько пакетов каждого вида завезли в магазин?

Решение.

Обозначим количество пакетов по 4 кг как $x$, по 5 кг как $y$, и по 8 кг как $z$. Согласно условию, $x$, $y$ и $z$ являются целыми положительными числами.

Суммарный вес всей муки составляет 54 кг, что можно выразить уравнением: $4x + 5y + 8z = 54$

Также в задаче даны условия по количеству пакетов: пяти-килограммовых меньше, чем восьми-килограммовых ($y < z$), а восьми-килограммовых меньше, чем четырёх-килограммовых ($z < x$). Объединив эти условия, получаем строгое неравенство: $y < z < x$

Проанализируем уравнение $4x + 5y + 8z = 54$. Члены $4x$, $8z$ и результат $54$ являются чётными числами. Это означает, что член $5y$ также должен быть чётным. Произведение $5y$ будет чётным только если множитель $y$ является чётным числом.

Будем последовательно проверять возможные чётные значения для $y$, учитывая, что $y$ — наименьшее из трёх чисел, и должно быть как минимум 1, но так как оно четное, то наименьшее возможное значение для $y$ - это 2.

Рассмотрим случай, когда $y = 2$. Подставим это значение в основное уравнение: $4x + 5(2) + 8z = 54$ $4x + 10 + 8z = 54$ $4x + 8z = 44$ Разделим всё уравнение на 4: $x + 2z = 11$, откуда можно выразить $x$: $x = 11 - 2z$.

Теперь подставим $y = 2$ и $x = 11 - 2z$ в наше неравенство $y < z < x$: $2 < z < 11 - 2z$

Это двойное неравенство означает, что должны выполняться два условия: $z > 2$ и $z < 11 - 2z$. Решим второе неравенство: $z < 11 - 2z \implies 3z < 11 \implies z < \frac{11}{3} \approx 3.67$. Таким образом, $z$ должно быть целым числом в интервале $(2, 3.67)$. Единственное подходящее целое число — это $z = 3$.

Зная $z = 3$, находим $x$: $x = 11 - 2(3) = 11 - 6 = 5$.

Мы получили возможное решение: $x=5$ (пакетов по 4 кг), $y=2$ (пакета по 5 кг), $z=3$ (пакета по 8 кг). Проверим его: Неравенство $y < z < x$: $2 < 3 < 5$. Выполняется.
Общий вес: $4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 3 = 20 + 10 + 24 = 54$ кг. Выполняется.
Это правильное решение.

Чтобы убедиться в единственности решения, проверим следующее возможное значение $y$. Пусть $y=4$. Уравнение примет вид: $4x + 5(4) + 8z = 54 \implies 4x + 8z = 34$. Разделив на 2, получим $2x + 4z = 17$. Левая часть $2(x+2z)$ всегда чётна, а правая (17) — нечётна. Следовательно, для $y=4$ целочисленных решений нет.

При больших значениях $y$ (например, $y=6, 8, ...$) решений также не будет, так как для соблюдения неравенства $y < z < x$ потребуется ещё большее количество пакетов $z$ и $x$, а их суммарный вес быстро превысит 54 кг.

Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: в магазин завезли 5 пакетов по 4 кг, 2 пакета по 5 кг и 3 пакета по 8 кг.