Номер 4, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Элементы прикладной математики - номер 4, страница 75.

Условие.

4. От станции А в направлении станции В, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию В на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого поезда, если второй за 2 ч проходит на 40 км больше, чем первый — за 1 ч.

Решение.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого поезда, а $v_2$ км/ч — скорость второго поезда. Расстояние между станциями A и B равно $S = 240$ км.

Время, которое затратил на путь первый поезд, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1}$ ч.

Время, которое затратил на путь второй поезд, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2}$ ч.

Из условия задачи известно, что первый поезд прибыл на 1 час раньше второго. Это означает, что время в пути у второго поезда на 1 час больше. Составим первое уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1$

Также из условия известно, что второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый за 1 час. Расстояние, пройденное вторым поездом за 2 часа, равно $2 \cdot v_2$ км. Расстояние, пройденное первым поездом за 1 час, равно $1 \cdot v_1$ км. Составим второе уравнение:

$2v_2 = v_1 + 40$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_1} = 1 \\ 2v_2 = v_1 + 40 \end{array} \right.$

Из второго уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 2v_2 - 40$

Поскольку скорость должна быть положительной величиной, $v_1 > 0$, следовательно $2v_2 - 40 > 0$, что означает $v_2 > 20$.

Подставим полученное выражение для $v_1$ в первое уравнение системы:

$\frac{240}{v_2} - \frac{240}{2v_2 - 40} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(2v_2 - 40)$:

$\frac{240(2v_2 - 40) - 240v_2}{v_2(2v_2 - 40)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель, так как мы установили, что он не равен нулю ($v_2 > 20$):

$240(2v_2 - 40) - 240v_2 = v_2(2v_2 - 40)$

$480v_2 - 9600 - 240v_2 = 2v_2^2 - 40v_2$

$240v_2 - 9600 = 2v_2^2 - 40v_2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2v_2^2 - 40v_2 - 240v_2 + 9600 = 0$

$2v_2^2 - 280v_2 + 9600 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$v_2^2 - 140v_2 + 4800 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-140)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 19600 - 19200 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = 20$.

$v_{2,1} = \frac{140 + 20}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_{2,2} = \frac{140 - 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Оба корня удовлетворяют условию $v_2 > 20$, значит, задача имеет два возможных решения. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1.

Скорость второго поезда $v_2 = 60$ км/ч. Тогда скорость первого поезда:

$v_1 = 2 \cdot 60 - 40 = 120 - 40 = 80$ км/ч.

Проверим: время первого поезда $t_1 = 240 / 80 = 3$ ч, время второго поезда $t_2 = 240 / 60 = 4$ ч. Разница $4 - 3 = 1$ ч, что соответствует условию. Расстояние второго за 2 ч: $2 \cdot 60 = 120$ км. Расстояние первого за 1 ч: $1 \cdot 80 = 80$ км. Разница $120 - 80 = 40$ км, что также соответствует условию. Этот вариант является решением.

Случай 2.

Скорость второго поезда $v_2 = 80$ км/ч. Тогда скорость первого поезда:

$v_1 = 2 \cdot 80 - 40 = 160 - 40 = 120$ км/ч.

Проверим: время первого поезда $t_1 = 240 / 120 = 2$ ч, время второго поезда $t_2 = 240 / 80 = 3$ ч. Разница $3 - 2 = 1$ ч, что соответствует условию. Расстояние второго за 2 ч: $2 \cdot 80 = 160$ км. Расстояние первого за 1 ч: $1 \cdot 120 = 120$ км. Разница $160 - 120 = 40$ км, что также соответствует условию. Этот вариант тоже является решением.

Ответ: задача имеет два решения: 1) скорость первого поезда 80 км/ч, скорость второго поезда 60 км/ч; 2) скорость первого поезда 120 км/ч, скорость второго поезда 80 км/ч.