Номер 6, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 6, страница 74.

Условие.

6. При каких значениях параметра $a$ система неравенств

$\begin{cases} x^2 + 4x - a + 5 \le 0, \\ a - x \le 5 \end{cases}$ имеет решение?

Решение.

Для того чтобы система неравенств имела решение, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых существует хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее обоим неравенствам системы:

$\begin{cases} x^2 + 4x - a + 5 \le 0 \\ a - x \le 5 \end{cases}$

Сначала преобразуем второе неравенство системы, чтобы выразить ограничение на $x$:

$a - x \le 5$
$-x \le 5 - a$
$x \ge a - 5$

Теперь рассмотрим первое неравенство: $x^2 + 4x - a + 5 \le 0$. Это квадратное неравенство относительно $x$. Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - a + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ имеет решения только в том случае, если парабола пересекает ось абсцисс или касается её. Это эквивалентно тому, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x + (5-a) = 0$ должен быть неотрицательным.

Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5-a) = 16 - 20 + 4a = 4a - 4$.

Условие $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$4a - 4 \ge 0 \implies 4a \ge 4 \implies a \ge 1$.

Таким образом, при $a < 1$ первое неравенство не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений. Следовательно, мы будем рассматривать только значения $a \ge 1$.

При $a \ge 1$, решением неравенства $x^2 + 4x - a + 5 \le 0$ является отрезок между корнями уравнения $x_1$ и $x_2$. Корни равны:

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4a-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{a-1}}{2} = -2 \pm \sqrt{a-1}$.

Итак, решение первого неравенства: $x \in [-2 - \sqrt{a-1}, -2 + \sqrt{a-1}]$.

Система имеет решение, если пересечение множеств решений обоих неравенств не пусто. То есть, интервал $[-2 - \sqrt{a-1}, -2 + \sqrt{a-1}]$ должен иметь общие точки с интервалом $[a-5, +\infty)$. Это произойдет, если правая граница первого интервала будет больше или равна левой границе второго:

$-2 + \sqrt{a-1} \ge a-5$.

Решим это иррациональное неравенство:

$\sqrt{a-1} \ge a-3$.

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна, $a-3 < 0$, то есть $a < 3$.
В этом случае неравенство $\sqrt{a-1} \ge a-3$ будет верным для всех $a$, при которых левая часть определена (поскольку неотрицательное число всегда больше отрицательного). Условие определенности корня: $a-1 \ge 0 \implies a \ge 1$. Объединяя условия $a < 3$ и $a \ge 1$, получаем решение для этого случая: $a \in [1, 3)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна, $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:

$(\sqrt{a-1})^2 \ge (a-3)^2$
$a-1 \ge a^2 - 6a + 9$
$0 \ge a^2 - 7a + 10$
$a^2 - 7a + 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $a^2 - 7a + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2$ и $a_2=5$. Поскольку парабола $y=a^2 - 7a + 10$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется между корнями: $a \in [2, 5]$. Учитывая условие этого случая ($a \ge 3$), находим пересечение множеств $[2, 5]$ и $[3, +\infty)$, что дает нам $a \in [3, 5]$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях. Из первого случая имеем $a \in [1, 3)$, из второго — $a \in [3, 5]$. Объединение этих двух множеств дает итоговый промежуток:

$[1, 3) \cup [3, 5] = [1, 5]$.

Ответ: $a \in [1, 5]$.