Номер 3, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 3, страница 74.

Условие.

3. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 10.

Рис. 10

Решение.

Для того чтобы задать фигуру системой неравенств, необходимо определить уравнения кривых, которые ее ограничивают, и указать, какая область относительно этих кривых соответствует заштрихованной фигуре.

1. Определение уравнения параболы.

Фигура ограничена сверху параболой, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$.

Подставим координаты вершины $(0, 0)$ в уравнение:

$y = a(x - 0)^2 + 0$, что упрощается до $y = ax^2$.

Чтобы найти коэффициент $a$, выберем на параболе любую точку с целыми координатами, например, точку $(1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-1 = a \cdot 1^2$

$-1 = a$

Таким образом, уравнение параболы: $y = -x^2$.

Поскольку заштрихованная область находится ниже или на самой параболе, первое неравенство системы будет:

$y \le -x^2$

2. Определение уравнения прямой.

Фигура ограничена снизу горизонтальной прямой. Эта прямая проходит через точку $(0, -1)$ и параллельна оси $Ox$. Уравнение такой прямой:

$y = -1$

Поскольку заштрихованная область находится выше или на самой прямой, второе неравенство системы будет:

$y \ge -1$

3. Составление системы неравенств.

Объединив оба неравенства, получаем систему, которая описывает заданную фигуру:

$ \begin{cases} y \le -x^2 \\ y \ge -1 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} y \le -x^2 \\ y \ge -1 \end{cases} $