Номер 4, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы - номер 4, страница 73.

Условие.

4. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + (y-a)^2 = 9, \\ y + 3|x| - 2 = 0 \end{cases}$, имеет единственное решение?

Решение.

Данная система состоит из двух уравнений:

1) $x^2 + (y-a)^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в точке $C(0, a)$ и радиусом $R=3$. Центр окружности перемещается вдоль оси ординат в зависимости от параметра $a$.

2) $y + 3|x| - 2 = 0$ — это уравнение, график которого можно представить в виде $y = 2 - 3|x|$. Этот график состоит из двух лучей, исходящих из вершины в точке $V(0, 2)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

Решение системы — это точка $(x, y)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям, то есть точка пересечения графиков. Нам нужно найти такое значение параметра $a$, при котором точка пересечения будет единственной.

Оба графика (окружность с центром на оси $Oy$ и график функции $y = 2 - 3|x|$) симметричны относительно оси $Oy$. Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 \neq 0$ является решением системы, то и точка $(-x_0, y_0)$ также будет решением, поскольку в оба уравнения $x$ входит как $x^2$ или $|x|$, и значение этих выражений не меняется при замене $x$ на $-x$.

Таким образом, чтобы решение было единственным, оно должно лежать на оси симметрии, то есть его абсцисса должна быть равна нулю: $x=0$.

Подставим $x=0$ во второе уравнение системы, чтобы найти ординату этой точки:

$y + 3|0| - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$

Значит, единственным решением может быть только точка $(0, 2)$. Эта точка должна принадлежать и окружности. Подставим ее координаты в первое уравнение:

$0^2 + (2-a)^2 = 9$

$(2-a)^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$:

$2-a = 3 \Rightarrow a = -1$

$2-a = -3 \Rightarrow a = 5$

Теперь необходимо проверить, не существует ли при этих значениях $a$ других решений, кроме $(0, 2)$. Для этого подставим выражение $y = 2 - 3|x|$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (2 - 3|x| - a)^2 = 9$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, введем замену $t = |x|$, где $t \geq 0$:

$t^2 + (2 - 3t - a)^2 = 9$

$t^2 + ((2-a) - 3t)^2 = 9$

$t^2 + (2-a)^2 - 6t(2-a) + 9t^2 - 9 = 0$

$10t^2 + 6(a-2)t + (a^2 - 4a - 5) = 0$

Разложив свободный член на множители, получим:

$10t^2 + 6(a-2)t + (a-5)(a+1) = 0$

Система имеет единственное решение, если это квадратное уравнение для $t$ имеет единственное неотрицательное решение $t=0$.

Случай 1: $a = -1$

Подставим $a=-1$ в полученное уравнение:

$10t^2 + 6(-1-2)t + (-1-5)(-1+1) = 0$

$10t^2 - 18t = 0$

$2t(5t - 9) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 9/5$. Оба корня являются неотрицательными.

$t=0 \Rightarrow |x|=0 \Rightarrow x=0$. Это дает одно решение $(0, 2)$.

$t=9/5 \Rightarrow |x|=9/5 \Rightarrow x = \pm 9/5$. Это дает еще два решения.

Всего при $a=-1$ система имеет три решения, что не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $a = 5$

Подставим $a=5$ в уравнение:

$10t^2 + 6(5-2)t + (5-5)(5+1) = 0$

$10t^2 + 18t = 0$

$2t(5t + 9) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -9/5$.

Так как $t = |x| \geq 0$, единственным подходящим корнем является $t=0$.

$t=0 \Rightarrow |x|=0 \Rightarrow x=0$. Это дает одно-единственное решение системы $(0, 2)$.

Таким образом, система имеет единственное решение только при $a=5$.

Ответ: $a=5$.