Номер 1, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 1, страница 74.

Условие.

1. Изобразите график неравенства:

1) $y - 3x \ge 6;$

2) $x^2 + (y + 1)^2 \le 9.$

Решение.

1) $y - 3x \geq 6$

Для построения графика данного неравенства сначала рассмотрим соответствующее уравнение, которое задает граничную линию: $y - 3x = 6$.
Выразим $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$:
$y = 3x + 6$.
Это уравнение прямой. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 6)$.
Если $y = 0$, то $0 = 3x + 6$, откуда $3x = -6$ и $x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), граничная прямая $y = 3x + 6$ включается в решение, и ее следует изобразить сплошной линией.
Теперь необходимо определить, какая из двух полуплоскостей, на которые прямая делит координатную плоскость, является решением неравенства. Для этого выберем пробную точку, не лежащую на прямой. Удобно взять начало координат, точку $(0, 0)$.
Подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 - 3 \cdot 0 \geq 6$
$0 \geq 6$
Полученное неравенство является ложным. Это означает, что полуплоскость, содержащая начало координат (область под прямой), не является решением. Следовательно, решением является противоположная полуплоскость, то есть область, расположенная выше прямой.

Ответ: Графиком неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 3x + 6$, включая саму прямую.

2) $x^2 + (y+1)^2 \leq 9$

Рассмотрим граничное уравнение: $x^2 + (y+1)^2 = 9$.
Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.
В нашем случае уравнение можно записать как $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$.
Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $(0, -1)$, а ее радиус $R = 3$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\leq$), сама окружность включается в множество решений, и ее следует изобразить сплошной линией.
Неравенство $x^2 + (y+1)^2 \leq 9$ определяет все точки $(x, y)$, расстояние от которых до центра $(0, -1)$ не превышает радиус $3$. Эти точки находятся внутри окружности и на ее границе.
Для проверки выберем пробную точку, например, центр окружности $(0, -1)$.
Подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0^2 + (-1+1)^2 \leq 9$
$0^2 + 0^2 \leq 9$
$0 \leq 9$
Неравенство верное, значит, область, содержащая центр, то есть внутренняя часть окружности, является решением.

Ответ: Графиком неравенства является круг с центром в точке $(0, -1)$ и радиусом $3$, включая его границу (окружность).