Номер 1, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы - номер 1, страница 73.

Условие.

1. Решите уравнение $x^2 - 6x + y^2 + 10y + 34 = 0$.

Решение.

Для решения уравнения $x^2 - 6x + y^2 + 10y + 34 = 0$ применим метод выделения полного квадрата для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем члены уравнения, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 34 = 0$

Выделим полный квадрат для группы с $x$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выражение $x^2 - 6x$ можно представить как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$

Аналогично поступим с группой, содержащей $y$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Выражение $y^2 + 10y$ можно представить как $y^2 + 2 \cdot y \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $5^2 = 25$. Добавим и вычтем 25:

$(y^2 + 10y + 25) - 25 = (y + 5)^2 - 25$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x - 3)^2 - 9) + ((y + 5)^2 - 25) + 34 = 0$

Теперь упростим уравнение, объединив числовые слагаемые:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 - 9 - 25 + 34 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 - 34 + 34 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 0$

Полученное уравнение представляет собой сумму двух квадратов, которая равна нулю. Квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная. То есть, $(x - 3)^2 \geq 0$ и $(y + 5)^2 \geq 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.

Это приводит к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 5)^2 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, находим единственное решение:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$y + 5 = 0 \implies y = -5$

Ответ: $x = 3, y = -5$.