Номер 1, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 1, страница 72.

Условие.

1. Решите неравенство:

1) $8x^2 - 9x + 1 \le 0$;

2) $25x^2 + 10x + 1 > 0$;

3) $-5x^2 + 4x - 9 < 0$.

Решение.

1) Чтобы решить неравенство $8x^2 - 9x + 1 \le 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8x^2 - 9x + 1 = 0$.
Для этого вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{9 - 7}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{9 + 7}{16} = \frac{16}{16} = 1$.
Графиком функции $y = 8x^2 - 9x + 1$ является парабола. Так как старший коэффициент $a=8 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{1}{8}$ и $x = 1$.
Неравенство $8x^2 - 9x + 1 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства есть промежуток $[\frac{1}{8}, 1]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{8}; 1]$.

2) Решим неравенство $25x^2 + 10x + 1 > 0$.
Левая часть неравенства представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
$25x^2 + 10x + 1 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = (5x+1)^2$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде: $(5x+1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, то есть $(5x+1)^2 \ge 0$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение строго больше нуля. Равенство нулю достигается только в одном случае:
$5x+1=0 \Rightarrow 5x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}$.
Следовательно, неравенство $(5x+1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}) \cup (-\frac{1}{5}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $-5x^2 + 4x - 9 < 0$.
Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -5x^2 + 4x - 9$.
Графиком этой функции является парабола. Старший коэффициент $a = -5 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $-5x^2 + 4x - 9 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-9) = 16 - 180 = -164$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс.
Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось абсцисс, то вся парабола целиком расположена ниже оси абсцисс. Это означает, что значения функции $y = -5x^2 + 4x - 9$ всегда отрицательны.
Следовательно, неравенство $-5x^2 + 4x - 9 < 0$ выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.