Номер 6, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 6, страница 71.

Условие.

6. Решите уравнение

$\sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \frac{16}{x}$

Решение.

Дано уравнение $\sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \frac{16}{x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x + 5 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Решением этой системы является $x \ge 3$. Итак, ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения на области допустимых значений. Пусть $f(x) = \sqrt{x-3} + \sqrt{x+5}$. Эта функция является суммой двух возрастающих функций ($\sqrt{x-3}$ и $\sqrt{x+5}$), следовательно, $f(x)$ является монотонно возрастающей функцией на промежутке $[3, +\infty)$.

Пусть $g(x) = \frac{16}{x}$. Эта функция является монотонно убывающей на промежутке $[3, +\infty)$.

Уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — возрастающая функция, а $g(x)$ — убывающая. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=4$, которое принадлежит ОДЗ.

Подставим $x=4$ в левую часть уравнения:$\sqrt{4-3} + \sqrt{4+5} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$.

Подставим $x=4$ в правую часть уравнения:$\frac{16}{4} = 4$.

Поскольку левая и правая части равны ($4=4$), $x=4$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, других решений нет.

Ответ: $4$.