Номер 7, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 7, страница 70.

Условие.

7. Докажите, что если $a > 0$ и $b > 0$, то

$\left(9 + \frac{1}{a}\right)\left(25 + \frac{1}{b}\right)(1 + 4ab) \ge 240.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства при $a > 0$ и $b > 0$ воспользуемся методом замены переменных и неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши).

Шаг 1: Замена переменных

Введем новые переменные $x$ и $y$, связанные с $a$ и $b$ следующим образом: $a = \frac{x^2}{9}$ и $b = \frac{y^2}{25}$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, переменные $x$ и $y$ также должны быть положительными. Например, можно положить $x = 3\sqrt{a}$ и $y = 5\sqrt{b}$.

Шаг 2: Преобразование выражения

Подставим введенные замены в левую часть доказываемого неравенства. Обозначим левую часть как $L$.

Преобразуем каждый из трех множителей:

1. $9 + \frac{1}{a} = 9 + \frac{1}{x^2/9} = 9 + \frac{9}{x^2} = 9\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = 9\frac{x^2+1}{x^2}$

2. $25 + \frac{1}{b} = 25 + \frac{1}{y^2/25} = 25 + \frac{25}{y^2} = 25\left(1 + \frac{1}{y^2}\right) = 25\frac{y^2+1}{y^2}$

3. $1 + 4ab = 1 + 4\left(\frac{x^2}{9}\right)\left(\frac{y^2}{25}\right) = 1 + \frac{4x^2y^2}{225} = \frac{225+4x^2y^2}{225}$

Теперь перемножим преобразованные множители, чтобы найти выражение для $L$:

$L = \left(9\frac{x^2+1}{x^2}\right) \left(25\frac{y^2+1}{y^2}\right) \left(\frac{225+4x^2y^2}{225}\right)$

Сократим числовые коэффициенты:

$L = \frac{9 \cdot 25}{225} \cdot \frac{(x^2+1)(y^2+1)(225+4x^2y^2)}{x^2y^2}$

$L = 1 \cdot \frac{x^2+1}{x} \cdot \frac{y^2+1}{y} \cdot \frac{225+4x^2y^2}{xy}$

Раскрыв скобки, получаем:

$L = \left(x+\frac{1}{x}\right) \left(y+\frac{1}{y}\right) \left(\frac{225}{xy}+4xy\right)$

Шаг 3: Применение неравенства Коши

Теперь последовательно применим неравенство Коши, которое гласит, что для любых положительных чисел $z$ и $w$ справедливо $z+w \ge 2\sqrt{zw}$.

Для первых двух множителей, так как $x > 0$ и $y > 0$:

$x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$

$y+\frac{1}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{y}} = 2$

Поскольку все части неравенств положительны, мы можем их перемножить:

$\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right) \ge 2 \cdot 2 = 4$

Следовательно, для всего выражения $L$ получаем следующую оценку снизу:

$L \ge 4 \left(\frac{225}{xy}+4xy\right)$

Теперь применим неравенство Коши к выражению в скобках. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то и их произведение $xy > 0$.

$\frac{225}{xy}+4xy \ge 2\sqrt{\frac{225}{xy} \cdot 4xy} = 2\sqrt{225 \cdot 4} = 2\sqrt{900} = 2 \cdot 30 = 60$

Шаг 4: Окончательный вывод

Объединяя полученные результаты, имеем:

$L \ge 4 \cdot 60 = 240$

Таким образом, мы доказали, что $\left(9 + \frac{1}{a}\right)\left(25 + \frac{1}{b}\right)(1 + 4ab) \ge 240$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.