Номер 6, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 6, страница 70.

Условие.

6. На четырёх карточках записаны числа 5, 6, 7 и 8. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?

Решение.

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

1. Найдём общее количество возможных исходов.

У нас есть 4 карточки с числами 5, 6, 7, 8. Мы выбираем 2 из них. Так как порядок выбора карточек не имеет значения для суммы, мы используем формулу для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество карточек $n=4$, а число выбираемых карточек $k=2$. Тогда общее число возможных исходов $N$ равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, существует 6 различных пар карточек, которые можно выбрать: (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (6, 8), (7, 8).

2. Найдём количество благоприятных исходов.

Благоприятным исходом является тот, при котором сумма чисел на двух выбранных карточках является нечётным числом. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из слагаемых чётное, а другое — нечётное.

Разделим числа на карточках на чётные и нечётные:

• Нечётные числа: 5, 7 (всего 2 числа).
• Чётные числа: 6, 8 (всего 2 числа).

Чтобы получить нечётную сумму, необходимо выбрать одну карточку с нечётным числом и одну карточку с чётным числом. Количество способов выбрать 1 нечётное число из 2 имеющихся равно $C_2^1 = 2$. Количество способов выбрать 1 чётное число из 2 имеющихся также равно $C_2^1 = 2$.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению этих способов:

$m = 2 \cdot 2 = 4$.

Действительно, пары, дающие нечётную сумму, это (5, 6), (5, 8), (7, 6) и (7, 8).

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$