Номер 1, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 1, страница 70.

Условие.

1. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 6x$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > -8$.

Решение.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 6x$ определим ее основные характеристики. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 6 / 2 = 3$.

Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x - 6) = 0$. Точки пересечения — $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. То есть, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Для большей точности найдем еще несколько точек. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

При $x=1$: $f(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 = -5$. Точка $(1, -5)$. Симметричная ей точка $(5, -5)$.

При $x=2$: $f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 = -8$. Точка $(2, -8)$. Симметричная ей точка $(4, -8)$.

Используя эти ключевые точки (вершина $(3, -9)$, пересечения с осями $(0, 0)$ и $(6, 0)$, и дополнительные точки $(1, -5)$, $(2, -8)$, $(4, -8)$, $(5, -5)$), строим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) область значений функции;

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$. График функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна -9. Следовательно, функция принимает все значения от -9 включительно и до плюс бесконечности.

Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток убывания функции;

Функция убывает на том промежутке, где с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Для параболы с ветвями вверх это происходит на луче слева от вершины. Абсцисса вершины равна 3. Таким образом, функция убывает при $x$ от $-\infty$ до 3 включительно.

Ответ: $(-\infty; 3]$.

3) множество решений неравенства $f(x) > -8$.

Чтобы решить неравенство $f(x) > -8$ графически, необходимо найти все значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен выше горизонтальной прямой $y = -8$. Для этого сначала найдем точки пересечения графика $y = f(x)$ с прямой $y = -8$, решив уравнение $f(x) = -8$.

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Из графика видно, что парабола $y = x^2 - 6x$ находится выше прямой $y = -8$ на двух промежутках: левее точки $x = 2$ и правее точки $x = 4$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.