Номер 2, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 2, страница 69.

Условие.

2. Первый и четвёртый члены геометрической прогрессии соответственно равны 2,5 и 20. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.

Решение.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, нам даны первый и четвёртый члены прогрессии:

$b_1 = 2,5$

$b_4 = 20$

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу для четвёртого члена, мы можем найти знаменатель прогрессии $q$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$

$20 = 2,5 \cdot q^3$

Отсюда находим $q^3$:

$q^3 = \frac{20}{2,5} = \frac{200}{25} = 8$

Следовательно, знаменатель прогрессии равен:

$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь нужно найти сумму восьми первых членов этой прогрессии, $S_8$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $b_1 = 2,5$, $q = 2$ и $n = 8$:

$S_8 = \frac{2,5(2^8 - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычислим $2^8$:

$2^8 = 256$

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_8 = \frac{2,5(256 - 1)}{1} = 2,5 \cdot 255$

Выполним умножение:

$2,5 \cdot 255 = 637,5$

Таким образом, сумма восьми первых членов этой прогрессии равна 637,5.

Ответ: 637,5