Номер 4, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 4, страница 68.

Условие.

4. Найдите все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство $2^n \ge 3n - 1$.

Решение.

Для решения данного неравенства $2^n \ge 3n - 1$ на множестве натуральных чисел $n$, проверим его справедливость для нескольких первых значений $n$, а затем воспользуемся методом математической индукции для доказательства общего случая.

1. Проверка для малых значений n

Подставим несколько первых натуральных чисел в неравенство:

• При $n=1$:
  $2^1 \ge 3 \cdot 1 - 1$
  $2 \ge 2$
  Неравенство выполняется (верно).
• При $n=2$:
  $2^2 \ge 3 \cdot 2 - 1$
  $4 \ge 5$
  Неравенство не выполняется (неверно).
• При $n=3$:
  $2^3 \ge 3 \cdot 3 - 1$
  $8 \ge 8$
  Неравенство выполняется (верно).
• При $n=4$:
  $2^4 \ge 3 \cdot 4 - 1$
  $16 \ge 11$
  Неравенство выполняется (верно).

Проверка показывает, что неравенство верно для $n=1$ и, предположительно, для всех $n \ge 3$. Докажем, что оно выполняется для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

2. Доказательство методом математической индукции для n ≥ 3

Обозначим утверждение $P(n): 2^n \ge 3n - 1$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=3$. Как мы уже видели выше, $2^3 = 8$ и $3 \cdot 3 - 1 = 8$. Неравенство $8 \ge 8$ является верным. База индукции доказана.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть выполняется неравенство $2^k \ge 3k - 1$. Это наше предположение индукции.

Докажем, что из этого следует справедливость утверждения $P(k+1)$, то есть $2^{k+1} \ge 3(k+1) - 1$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $P(k+1)$:
$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Используя предположение индукции ($2^k \ge 3k - 1$), получаем:
$2 \cdot 2^k \ge 2(3k - 1) = 6k - 2$

Теперь нам нужно доказать, что $6k-2 \ge 3(k+1) - 1$.
$6k - 2 \ge 3k + 3 - 1$
$6k - 2 \ge 3k + 2$
$6k - 3k \ge 2 + 2$
$3k \ge 4$
$k \ge \frac{4}{3}$

Поскольку мы рассматриваем случай $k \ge 3$, а $3 > \frac{4}{3}$, то неравенство $k \ge \frac{4}{3}$ выполняется. Следовательно, и неравенство $6k - 2 \ge 3k + 2$ также выполняется для всех $k \ge 3$.

Таким образом, мы показали, что $2^{k+1} \ge 6k - 2$ и $6k - 2 \ge 3k + 2$. Отсюда по свойству транзитивности следует, что $2^{k+1} \ge 3k + 2$, что и требовалось доказать.

Заключение:
Согласно методу математической индукции, неравенство $2^n \ge 3n - 1$ выполняется для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Общий вывод:

Объединяя результаты, полученные при проверке малых значений $n$ и доказательство по индукции, мы заключаем, что неравенство $2^n \ge 3n - 1$ выполняется для $n=1$ и для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Ответ: $n = 1$ и все натуральные числа $n \ge 3$.