Номер 6, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 6, страница 68.

Условие.

6. Из натуральных чисел от 1 до 32 включительно наугад выбирают шесть чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не более двух окажутся кратными числу 3?

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдём общее число исходов $n$. Всего имеется 32 натуральных числа от 1 до 32. Мы выбираем из них 6 чисел случайным образом. Порядок выбора не имеет значения, поэтому общее число способов выбрать 6 чисел из 32 равно числу сочетаний из 32 по 6:$n = C_{32}^{6} = \frac{32!}{6!(32-6)!} = \frac{32!}{6!26!} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 906192$. Таким образом, общее число равновозможных исходов равно 906192.

2. Найдём число благоприятных исходов $m$. Сначала разделим все 32 числа на две группы: кратные 3 и не кратные 3. Количество чисел, кратных 3, от 1 до 32: $3, 6, 9, \dots, 30$. Чтобы найти их количество, разделим 32 на 3 и возьмём целую часть: $\lfloor\frac{32}{3}\rfloor = 10$. Итак, 10 чисел кратны 3. Количество чисел, не кратных 3, равно $32 - 10 = 22$.

Благоприятное событие заключается в том, что среди выбранных шести чисел не более двух окажутся кратными числу 3. Это означает, что таких чисел может быть 0, 1 или 2. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: Среди 6 выбранных чисел нет кратных 3.Это означает, что все 6 чисел выбраны из 22 чисел, не кратных 3, и 0 чисел выбрано из 10 чисел, кратных 3. Число способов сделать это:$m_0 = C_{10}^{0} \cdot C_{22}^{6} = 1 \cdot \frac{22!}{6!(22-6)!} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 74613$.

Случай 2: Среди 6 выбранных чисел ровно одно кратно 3.Это означает, что 1 число выбрано из 10 кратных 3, а остальные 5 чисел выбраны из 22 не кратных 3. Число способов сделать это:$m_1 = C_{10}^{1} \cdot C_{22}^{5} = 10 \cdot \frac{22!}{5!(22-5)!} = 10 \cdot \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 26334 = 263340$.

Случай 3: Среди 6 выбранных чисел ровно два кратны 3.Это означает, что 2 числа выбраны из 10 кратных 3, а остальные 4 числа выбраны из 22 не кратных 3. Число способов сделать это:$m_2 = C_{10}^{2} \cdot C_{22}^{4} = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{22!}{4!(22-4)!} = 45 \cdot \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 45 \cdot 7315 = 329175$.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов для этих трех случаев:$m = m_0 + m_1 + m_2 = 74613 + 263340 + 329175 = 667128$.

3. Вычислим искомую вероятность.$P = \frac{m}{n} = \frac{667128}{906192}$. Сократим полученную дробь. Разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 168, получим:$P = \frac{667128 \div 168}{906192 \div 168} = \frac{3971}{5394}$.

Ответ: $\frac{3971}{5394}$