Номер 3, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 3, страница 68.

Условие.

3. Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 7 и 9?

Решение.

Для того чтобы найти количество чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, составленных из цифр {2, 3, 4, 7, 9}, необходимо последовательно определить количество возможных вариантов для каждой позиции (разряда) в числе, начиная с той, на которую наложено самое строгое ограничение.

Выбор цифры для разряда единиц

Число считается чётным, если оно оканчивается на чётную цифру. В данном наборе {2, 3, 4, 7, 9} чётными являются цифры 2 и 4. Таким образом, на последнюю позицию в числе (разряд единиц) можно поставить одну из этих двух цифр. Это даёт нам 2 варианта.

Выбор цифры для разряда тысяч

Всего имеется 5 цифр. Одна из них уже использована для разряда единиц. Так как все цифры в числе должны быть различны, для первой позиции (разряда тысяч) остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

Выбор цифры для разряда сотен

Две цифры уже заняты (для разрядов тысяч и единиц). Следовательно, для второй позиции (разряда сотен) остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.

Выбор цифры для разряда десятков

Три цифры уже использованы. Для третьей позиции (разряда десятков) остаётся $5 - 3 = 2$ варианта.

Общее количество чисел

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения.
Количество чисел = (варианты для единиц) × (варианты для тысяч) × (варианты для сотен) × (варианты для десятков).
$N = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48$.

Ответ: 48.