Номер 1, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 1, страница 68.

Условие.

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}}$

2) $\frac{A_5^2}{C_6^3}$

Решение.

1) $\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}}$

Для решения этого выражения воспользуемся формулой для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.

Исходное выражение можно записать в виде факториалов:

$\frac{3 \cdot 12! - 11!}{7 \cdot 10!}$

Чтобы упростить выражение, представим факториалы в числителе через наименьший факториал в выражении, то есть $10!$:

$12! = 12 \cdot 11 \cdot 10!$

$11! = 11 \cdot 10!$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{3 \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10!) - (11 \cdot 10!)}{7 \cdot 10!}$

Вынесем общий множитель $10!$ в числителе за скобки:

$\frac{10! \cdot (3 \cdot 12 \cdot 11 - 11)}{7 \cdot 10!}$

Сократим $10!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot 12 \cdot 11 - 11}{7}$

Вынесем общий множитель 11 в числителе за скобки:

$\frac{11 \cdot (3 \cdot 12 - 1)}{7} = \frac{11 \cdot (36 - 1)}{7} = \frac{11 \cdot 35}{7}$

Сократим дробь на 7:

$11 \cdot 5 = 55$

Ответ: 55

2) $\frac{A_5^2}{C_6^3}$

Для решения этого выражения воспользуемся формулами для числа размещений и числа сочетаний.

Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала вычислим числитель $A_5^2$ (число размещений из 5 по 2):

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$

Теперь вычислим знаменатель $C_6^3$ (число сочетаний из 6 по 3):

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 5 \cdot 4 = 20$

Подставим полученные значения в исходную дробь:

$\frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{20}{20} = 1$

Ответ: 1