Номер 7, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 7, страница 66.

Условие.

7. Докажите неравенство $\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x} \le 6$.

Решение.

Для доказательства неравенства $\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x} \leq 6$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$1+3x \geq 0 \implies 3x \geq -1 \implies x \geq -1/3$
$6-2x \geq 0 \implies 6 \geq 2x \implies x \leq 3$
$5-x \geq 0 \implies 5 \geq x \implies x \leq 5$

Пересечение этих условий дает нам ОДЗ: $x \in [-1/3, 3]$.

Для доказательства исходного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (или неравенством Коши-Шварца) для двух наборов чисел $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, которое имеет вид:

$(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)$

Рассмотрим два набора чисел:

$a_1=1, a_2=1, a_3=1$

$b_1=\sqrt{1+3x}, b_2=\sqrt{6-2x}, b_3=\sqrt{5-x}$

Подставим эти значения в неравенство Коши-Буняковского:

$(1 \cdot \sqrt{1+3x} + 1 \cdot \sqrt{6-2x} + 1 \cdot \sqrt{5-x})^2 \leq (1^2+1^2+1^2)((\sqrt{1+3x})^2 + (\sqrt{6-2x})^2 + (\sqrt{5-x})^2)$

Вычислим правую часть неравенства:

Сумма квадратов для первого набора: $1^2+1^2+1^2 = 3$.

Сумма квадратов для второго набора: $(1+3x) + (6-2x) + (5-x) = 1+6+5+3x-2x-x = 12$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x})^2 \leq 3 \cdot 12$

$(\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x})^2 \leq 36$

Так как левая часть неравенства (сумма корней) является неотрицательной, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохраняя знак:

$\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x} \leq \sqrt{36}$

$\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x} \leq 6$

Неравенство доказано для всех $x$ из области допустимых значений. Равенство достигается при $x=1$, когда левая часть равна $\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}=6$.

Ответ: Неравенство $\sqrt{1+3x} + \sqrt{6-2x} + \sqrt{5-x} \leq 6$ доказано.