Номер 1, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 66.

Условие.

1. Изобразите график неравенства:

1) $x - 4y \ge 8$;

2) $(x - 1)^2 + y^2 \le 4$.

Решение.

1) $x - 4y \ge 8$

Чтобы изобразить график данного неравенства, сначала построим график соответствующего уравнения, которое определяет границу искомой области: $x - 4y = 8$. Это уравнение является линейным, следовательно, его график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Для удобства выразим $y$ через $x$:
$-4y = 8 - x$
$4y = x - 8$
$y = \frac{1}{4}x - 2$

Теперь найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
1. При $x = 0$, $y = \frac{1}{4}(0) - 2 = -2$. Первая точка — $(0, -2)$.
2. При $y = 0$, $0 = \frac{1}{4}x - 2$, откуда $\frac{1}{4}x = 2$ и $x = 8$. Вторая точка — $(8, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, -2)$ и $(8, 0)$. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки на самой прямой являются частью решения. Поэтому границу изображаем сплошной линией.

Эта прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем любую "пробную" точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего использовать начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 - 4(0) \ge 8$
$0 \ge 8$

Полученное утверждение ложно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, не является решением неравенства. Следовательно, решением является противоположная полуплоскость — та, что расположена ниже и правее прямой.

Ответ: Графиком неравенства является полуплоскость, ограниченная прямой $x - 4y = 8$ и расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

2) $(x-1)^2 + y^2 \le 4$

Это неравенство определяет множество точек на координатной плоскости. Сначала рассмотрим уравнение границы этой области: $(x-1)^2 + y^2 = 4$.

Это стандартное уравнение окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Из нашего уравнения следует, что:
- Центр окружности находится в точке $(1, 0)$.
- Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Поскольку знак неравенства нестрогий ($\le$), точки, лежащие на самой окружности, также являются решением. Поэтому окружность изображается сплошной линией.

Неравенство $(x-1)^2 + y^2 \le 4$ означает, что квадрат расстояния от любой точки $(x, y)$ до центра $(1, 0)$ должен быть меньше или равен 4. Этому условию удовлетворяют все точки, находящиеся внутри окружности и на ее границе.

Для проверки можно взять пробную точку, например, центр окружности $(1, 0)$, и подставить ее координаты в исходное неравенство:
$(1-1)^2 + 0^2 \le 4$
$0^2 + 0 \le 4$
$0 \le 4$

Полученное утверждение истинно. Это подтверждает, что решением является область внутри окружности, включая ее центр.

Ответ: Графиком неравенства является круг с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 2, включая его границу (окружность).