Номер 5, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 5, страница 64.

Условие.

5. Решите неравенство:

1) $|x^2 + 3x + 1| < 2x + 3;$

2) $|x^2 + 2x - 10| > 4 - 3x.$

Решение.

1) $|x^2 + 3x + 1| < 2x + 3$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$$\begin{cases}f(x) < g(x) \\f(x) > -g(x)\end{cases}$$

Применительно к нашему случаю, получаем систему:

$$\begin{cases}x^2 + 3x + 1 < 2x + 3 \\x^2 + 3x + 1 > -(2x + 3)\end{cases}$$

Решим каждое неравенство системы отдельно.

Первое неравенство:

$x^2 + 3x + 1 < 2x + 3$

$x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2; 1)$.

Второе неравенство:

$x^2 + 3x + 1 > -(2x + 3)$

$x^2 + 3x + 1 > -2x - 3$

$x^2 + 5x + 4 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x + 4$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы получить решение системы:

$(-2; 1) \cap ((-\infty; -4) \cup (-1; +\infty))$

Пересечение этих множеств дает интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

2) $|x^2 + 2x - 10| > 4 - 3x$

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$$\left[\begin{array}{l}f(x) > g(x) \\f(x) < -g(x)\end{array}\right.$$

Применительно к нашему случаю, получаем совокупность:

$$\left[\begin{array}{l}x^2 + 2x - 10 > 4 - 3x \\x^2 + 2x - 10 < -(4 - 3x)\end{array}\right.$$

Решим каждое неравенство совокупности отдельно.

Первое неравенство:

$x^2 + 2x - 10 > 4 - 3x$

$x^2 + 5x - 14 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, получаем корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 14$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty)$.

Второе неравенство:

$x^2 + 2x - 10 < -(4 - 3x)$

$x^2 + 2x - 10 < -4 + 3x$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, получаем корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-2; 3)$.

Общим решением исходного неравенства является объединение решений двух неравенств совокупности:

$(-\infty; -7) \cup (2; +\infty) \cup (-2; 3)$

Объединяя интервалы $(-2; 3)$ и $(2; +\infty)$, получаем интервал $(-2; +\infty)$.

Таким образом, итоговое решение: $(-\infty; -7) \cup (-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-2; +\infty)$.