Номер 2, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки. Вариант 1. Контрольные работы - номер 2, страница 64.

Условие.

2. Найдите область определения функции

$f(x) = \frac{\sqrt{14 + 5x - x^2}}{x^2 + x - 6}$

$(x^2 - 2x + 3 >$

Решение.

Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{14 + 5x - x^2}}{x^2 + x - 6}$ находится из системы двух условий, которые должны выполняться одновременно:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $14 + 5x - x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + x - 6 \neq 0$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Решение неравенства $14 + 5x - x^2 \ge 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 5x + 14 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства: $x^2 - 5x - 14 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Графиком функции $y = -x^2 + 5x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Это означает, что функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства $14 + 5x - x^2 \ge 0$ есть отрезок $x \in [-2, 7]$.

2. Решение условия $x^2 + x - 6 \neq 0$

Чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить, решим уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
сумма корней $x_1 + x_2 = -1$;
произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x = -3$ и $x = 2$. Эти значения должны быть исключены из области определения функции.

3. Нахождение итоговой области определения

Область определения функции является пересечением множеств, полученных при решении двух условий: $x \in [-2, 7]$ и одновременно $x \neq -3$ и $x \neq 2$.
Проанализируем ограничения:
- Значение $x = -3$ не входит в отрезок $[-2, 7]$, поэтому это ограничение не влияет на найденный интервал.
- Значение $x = 2$ входит в отрезок $[-2, 7]$, поэтому его необходимо "выколоть" из этого отрезка.
Исключая точку $x=2$ из отрезка $[-2, 7]$, получаем объединение двух промежутков: от -2 (включительно) до 2 (не включительно) и от 2 (не включительно) до 7 (включительно).

Ответ: $x \in [-2, 2) \cup (2, 7]$.