Номер 1, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 65.

Условие.

1. Решите уравнение $x^2 + 4x + y^2 - 8y + 20 = 0$.

Решение.

Для решения данного уравнения $x^2 + 4x + y^2 - 8y + 20 = 0$ необходимо преобразовать его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

1. Сгруппируем члены уравнения, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) + 20 = 0$

2. Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Для этого добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{4}{2})^2 = 4$:

$x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$

3. Выделим полный квадрат для выражения с $y$. Для этого добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $y$, то есть $(\frac{-8}{2})^2 = 16$:

$y^2 - 8y = (y^2 - 8y + 16) - 16 = (y-4)^2 - 16$

4. Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x+2)^2 - 4) + ((y-4)^2 - 16) + 20 = 0$

5. Упростим уравнение, собрав все числовые члены:

$(x+2)^2 + (y-4)^2 - 4 - 16 + 20 = 0$

$(x+2)^2 + (y-4)^2 - 20 + 20 = 0$

$(x+2)^2 + (y-4)^2 = 0$

6. Полученное уравнение представляет собой сумму двух квадратов, равную нулю. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+2)^2 \ge 0$ и $(y-4)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых может быть равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ (y-4)^2 = 0 \end{cases}$

7. Решим каждое уравнение системы:

Из $(x+2)^2 = 0$ следует, что $x+2 = 0$, откуда $x = -2$.

Из $(y-4)^2 = 0$ следует, что $y-4 = 0$, откуда $y = 4$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -2$, $y = 4$ (или в виде точки $(-2; 4)$).