Номер 3, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 64.

Условие.

3. Решите систему неравенств

$\begin{cases} x^2 - 2x + 3 > 0, \\ |x - 1| \le 4. \end{cases}$

Решение.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Система имеет вид: $ \begin{cases} x^2 - 2x + 3 > 0, \\ |x - 1| \le 4. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 2x + 3 > 0$

Это квадратное неравенство. Рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 2x + 3$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, для чего решим уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 2x + 3$ положительно при любом действительном значении $x$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $|x - 1| \le 4$

Это неравенство с модулем. Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (при $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применим это правило:

$-4 \le x - 1 \le 4$

Прибавим 1 ко всем трем частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$-4 + 1 \le x - 1 + 1 \le 4 + 1$

$-3 \le x \le 5$

Решение второго неравенства: $x \in [-3; 5]$.

3. Найдем решение системы

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty; +\infty)$ и $x \in [-3; 5]$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[-3; 5]$.

Ответ: $x \in [-3; 5]$