Номер 5, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Квадратичная функция. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 63.

Условие.

5. Постройте график функции:

1) $y=|2-\sqrt{x}|;$

2) $y=\sqrt{2-x};$

3) $y=\sqrt{2-3x}.$

Решение.

1) y = |2 - √x|

Для построения графика функции $y = |2 - \sqrt{x}|$ выполним следующие шаги, основанные на преобразованиях графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и проходящая через точки (1,1), (4,2). Область определения: $x \ge 0$.

2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\sqrt{x}$. Он проходит через точки (0,0), (1,-1), (4,-2).

3. Сдвигаем график $y = -\sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить график $y = 2 - \sqrt{x}$. Начальная точка (0,0) переместится в (0,2), другие точки будут (1,1), (4,0).

4. Применяем модуль: $y = |2 - \sqrt{x}|$. Часть графика $y = 2 - \sqrt{x}$, которая находится выше или на оси Ox (при $0 \le x \le 4$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (при $x > 4$), отражается симметрично относительно оси Ox. Таким образом, для $x > 4$ график будет соответствовать функции $y = -(2 - \sqrt{x}) = \sqrt{x} - 2$.

Ключевые точки итогового графика:

• Точка на оси Oy: (0, 2).

• Точка пересечения с осью Ox (минимум): (4, 0).

• Другие точки: (1, 1), (9, 1).

Ответ: График функции начинается в точке (0,2), убывает до точки (4,0), а затем возрастает. Он состоит из двух частей: $y=2-\sqrt{x}$ на отрезке $[0, 4]$ и $y=\sqrt{x}-2$ при $x > 4$.

2) y = √(2 - x)

График функции $y = \sqrt{2 - x}$ можно построить с помощью преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Начнем с графика функции $y = \sqrt{x}$.

2. Отразим его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = \sqrt{-x}$. Его область определения $x \le 0$.

3. Сдвинем график $y = \sqrt{-x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = \sqrt{-(x - 2)} = \sqrt{2 - x}$.

Область определения функции находится из условия $2 - x \ge 0$, то есть $x \le 2$.
Несколько точек для построения:

• Вершина: (2, 0).

• Другие точки: (1, 1), (-2, 2), (-7, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt{2 - x}$ - это ветвь параболы, симметричной оси Ox, с вершиной в точке (2,0) и направленная влево.

3) y = √(2 - 3x)

Построение графика функции $y = \sqrt{2 - 3x}$ выполним аналогично, путем преобразований графика $y = \sqrt{x}$.

1. Представим функцию в виде $y = \sqrt{-3(x - \frac{2}{3})}$.

2. Начнем с графика $y = \sqrt{x}$.

3. Сожмем его к оси Oy в 3 раза, чтобы получить $y = \sqrt{3x}$.

4. Отразим полученный график относительно оси Oy, чтобы получить $y = \sqrt{-3x}$.

5. Сдвинем последний график на $\frac{2}{3}$ вправо вдоль оси Ox, чтобы получить итоговый график $y = \sqrt{-3(x - \frac{2}{3})}$.

Область определения функции: $2 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 2 \implies x \le \frac{2}{3}$.
Несколько точек для построения:

• Вершина: $(\frac{2}{3}, 0)$.

• Другие точки: $(\frac{1}{3}, 1)$, $(-\frac{2}{3}, 2)$, $(-\frac{7}{3}, 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2 - 3x}$ - это ветвь параболы, симметричной оси Ox, с вершиной в точке $(\frac{2}{3}, 0)$ и направленная влево. По сравнению с графиком из предыдущего пункта, этот график уходит вверх быстрее при уменьшении $x$ из-за горизонтального сжатия.