Номер 33, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 33, страница 61.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

1. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 18 \cdot 3^{n-3}$. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

2. Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии равна $-99$. Найдите $n$, если первый член прогрессии равен $-9$, а знаменатель прогрессии равен $-2$.

3. Для любого натурального $n$ сумму $n$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $S_n = 2(6^n - 1)$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

Решение.

1.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 18 \cdot 3^{n-3}$.
Чтобы найти сумму пяти первых членов прогрессии, сначала найдем первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$.
Найдем первый член, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 18 \cdot 3^{1-3} = 18 \cdot 3^{-2} = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2$.
Найдем второй член, подставив $n=2$ в формулу:
$b_2 = 18 \cdot 3^{2-3} = 18 \cdot 3^{-1} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$.
Теперь воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим наши значения: $n=5$, $b_1=2$, $q=3$.
$S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242$.
Ответ: 242.

2.

Дано: сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = -99$, первый член $b_1 = -9$, знаменатель прогрессии $q = -2$.
Используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения в формулу:
$-99 = \frac{-9((-2)^n - 1)}{-2 - 1}$.
Упростим знаменатель:
$-99 = \frac{-9((-2)^n - 1)}{-3}$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на -3:
$-99 = 3((-2)^n - 1)$.
Разделим обе части уравнения на 3:
$-33 = (-2)^n - 1$.
Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
$-32 = (-2)^n$.
Так как $2^5 = 32$ и основание степени отрицательное, а результат отрицательный, показатель степени $n$ должен быть нечетным.
Следовательно, $n=5$, так как $(-2)^5 = -32$.
Ответ: 5.

3.

Сумма $n$ первых членов последовательности $(b_n)$ вычисляется по формуле $S_n = 2(6^n - 1)$.
Чтобы доказать, что эта последовательность является геометрической прогрессией, нужно показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).
Найдем n-й член последовательности по формуле $b_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n \ge 2$).
$S_n = 2 \cdot 6^n - 2$.
$S_{n-1} = 2(6^{n-1} - 1) = 2 \cdot 6^{n-1} - 2$.
$b_n = (2 \cdot 6^n - 2) - (2 \cdot 6^{n-1} - 2) = 2 \cdot 6^n - 2 \cdot 6^{n-1} = 2 \cdot 6^{n-1}(6 - 1) = 10 \cdot 6^{n-1}$.
Эта формула верна для $n \ge 2$.
Найдем первый член последовательности: $b_1 = S_1$.
$b_1 = 2(6^1 - 1) = 2 \cdot 5 = 10$.
Проверим, работает ли полученная общая формула для $n=1$:
$b_1 = 10 \cdot 6^{1-1} = 10 \cdot 6^0 = 10 \cdot 1 = 10$.
Формула $b_n = 10 \cdot 6^{n-1}$ верна для всех натуральных $n$.
Эта формула является формулой n-го члена геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 10$ и знаменатель $q = 6$.
Проверим отношение $\frac{b_n}{b_{n-1}}$:
$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{10 \cdot 6^{n-1}}{10 \cdot 6^{(n-1)-1}} = \frac{6^{n-1}}{6^{n-2}} = 6^{(n-1)-(n-2)} = 6^1 = 6$.
Так как отношение $\frac{b_n}{b_{n-1}}$ является постоянным числом (равным 6) для любого $n \ge 2$, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 10$ и знаменателем $q = 6$.