Номер 29, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 29, страница 60.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Числовые последовательности

1. Найдите три первых члена последовательности ($a_n$), если $a_1 = 4$, $a_{n+1} = -2a_n + 4$.

2. Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена $c_n = 3 - 8n$. Является ли числом этой последовательности число: 1) 53; 2) 75? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

3. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = -n^2 + 3n - 4$. Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа $-22$.

4. Найдите все такие значения $a$, при которых последовательность, заданная условиями $x_1 = a$, $x_{n+1} = x_n^2 - 4x_n + 4$, является стационарной.

Решение.

1. Нам дана последовательность $(a_n)$, где $a_1 = 4$ и $a_{n+1} = -2a_n + 4$. Нужно найти первые три члена.

Первый член уже известен по условию: $a_1 = 4$.

Найдем второй член, подставив $n=1$ в рекуррентную формулу:

$a_2 = -2a_1 + 4 = -2 \cdot 4 + 4 = -8 + 4 = -4$.

Найдем третий член, подставив $n=2$ в ту же формулу:

$a_3 = -2a_2 + 4 = -2 \cdot (-4) + 4 = 8 + 4 = 12$.

Таким образом, первые три члена последовательности: 4, -4, 12.

Ответ: 4; -4; 12.

2. Последовательность $(c_n)$ задана формулой $c_n = 3 - 8n$. Проверим, являются ли числа 53 и 75 членами этой последовательности. Для этого нужно выяснить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), при котором $c_n$ будет равен заданному числу.

1) Проверим для числа 53. Составим уравнение:

$c_n = 53$

$3 - 8n = 53$

$-8n = 53 - 3$

$-8n = 50$

$n = -\frac{50}{8} = -6.25$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом (целым и положительным), а мы получили $n = -6.25$, число 53 не является членом данной последовательности.

2) Проверим для числа 75. Составим уравнение:

$c_n = 75$

$3 - 8n = 75$

$-8n = 75 - 3$

$-8n = 72$

$n = \frac{72}{-8} = -9$

Поскольку $n = -9$ не является натуральным числом, число 75 также не является членом данной последовательности.

Ответ: 1) нет; 2) нет.

3. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = -n^2 + 3n - 4$. Найдем количество членов этой последовательности, которые больше числа -22.

Для этого необходимо решить неравенство $a_n > -22$ при условии, что $n$ — натуральное число.

$-n^2 + 3n - 4 > -22$

Перенесем все члены в левую часть:

$-n^2 + 3n - 4 + 22 > 0$

$-n^2 + 3n + 18 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 3n - 18 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 3n - 18 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = -3$ и $n_2 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6$.

Графиком функции $y = n^2 - 3n - 18$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями. Таким образом, решение неравенства $n^2 - 3n - 18 < 0$ есть интервал $(-3; 6)$.

$-3 < n < 6$

Так как $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом. Выберем все натуральные числа, которые принадлежат этому интервалу:

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Всего таких членов 5.

Ответ: 5.

4. Последовательность задана условиями $x_1 = a$, $x_{n+1} = x_n^2 - 4x_n + 4$. Нужно найти все значения $a$, при которых последовательность является стационарной.

Стационарная последовательность — это последовательность, в которой все члены равны друг другу. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется условие $x_{n+1} = x_n$.

Подставим это условие в рекуррентную формулу:

$x_n = x_n^2 - 4x_n + 4$

Получили уравнение, которое определяет возможные значения членов стационарной последовательности. Решим его:

$x_n^2 - 5x_n + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 4. Корни: $x_n = 1$ и $x_n = 4$.

Это означает, что стационарная последовательность может состоять либо только из единиц, либо только из четверок.

По условию, первый член последовательности $x_1 = a$. Чтобы вся последовательность была стационарной, ее первый член $a$ должен быть равен одному из найденных значений.

• Если $a=1$, то $x_1 = 1$. Тогда $x_2 = x_1^2 - 4x_1 + 4 = 1^2 - 4(1) + 4 = 1$, и так далее. Все члены будут равны 1.
• Если $a=4$, то $x_1 = 4$. Тогда $x_2 = x_1^2 - 4x_1 + 4 = 4^2 - 4(4) + 4 = 16 - 16 + 4 = 4$, и так далее. Все члены будут равны 4.

Следовательно, последовательность является стационарной при $a=1$ или $a=4$.

Ответ: 1; 4.