Номер 1, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Квадратичная функция. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 63.

Условие.

1. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{1-4x} + \frac{3}{x^2-x-12}$

Решение.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \sqrt{1 - 4x} + \frac{3}{x^2 - x - 12}$ содержит квадратный корень и дробь, поэтому для нахождения ее области определения необходимо выполнение двух условий одновременно.

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$1 - 4x \ge 0$
Решим это линейное неравенство:
$-4x \ge -1$
Разделим обе части на -4, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{1}{4}$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя:
$x^2 - x - 12 \ne 0$
Чтобы найти недопустимые значения $x$, решим квадратное уравнение $x^2 - x - 12 = 0$.
Для решения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$
Таким образом, значения $x = 4$ и $x = -3$ должны быть исключены из области определения.

Теперь необходимо найти пересечение полученных условий, то есть решить систему:
$\begin{cases} x \le \frac{1}{4} \\ x \ne -3 \\ x \ne 4 \end{cases}$
Условие $x \ne 4$ уже выполняется, так как $4$ не принадлежит промежутку $(-\infty, \frac{1}{4}]$.
Следовательно, из промежутка $(-\infty, \frac{1}{4}]$ нужно исключить точку $x = -3$.
В результате получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-3, \frac{1}{4}]$.