Номер 30, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 30, страница 60.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Арифметическая прогрессия

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -4,8; -4,4; -4; ....

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_5 + a_8 = 29$ и $a_7 + a_{11} = 44$.

3. При каком значении $a$ значения выражений $a^2 + 1$, $2a + 3$, $3a - 1$ и $a^2 - 2a + 4$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

Решение.

1.

Дана арифметическая прогрессия: $-4,8; -4,4; -4; \dots$

Первый член прогрессии $a_1 = -4,8$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = -4,4 - (-4,8) = -4,4 + 4,8 = 0,4$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

В нашем случае формула принимает вид: $a_n = -4,8 + (n-1) \cdot 0,4$.

Чтобы найти первый положительный член, необходимо найти наименьший натуральный номер $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > 0$.

Составим и решим неравенство:

$-4,8 + (n-1) \cdot 0,4 > 0$

$0,4(n-1) > 4,8$

$n-1 > \frac{4,8}{0,4}$

$n-1 > 12$

$n > 13$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=14$.

Теперь найдем значение 14-го члена прогрессии:

$a_{14} = -4,8 + (14-1) \cdot 0,4 = -4,8 + 13 \cdot 0,4 = -4,8 + 5,2 = 0,4$.

Ответ: 0,4.

2.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим члены прогрессии из условий ($a_5 + a_8 = 29$ и $a_7 + a_{11} = 44$) через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в заданные уравнения:

1) $a_5 + a_8 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 2a_1 + 11d = 29$

2) $a_7 + a_{11} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 10d) = 2a_1 + 16d = 44$

Получим систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 11d = 29 \\ 2a_1 + 16d = 44 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 16d) - (2a_1 + 11d) = 44 - 29$

$5d = 15$

$d = 3$

Теперь подставим найденное значение $d=3$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 11(3) = 29$

$2a_1 + 33 = 29$

$2a_1 = 29 - 33$

$2a_1 = -4$

$a_1 = -2$

Ответ: первый член $a_1 = -2$, разность $d = 3$.

3.

Для того чтобы четыре выражения $a^2 + 1$, $2a + 3$, $3a - 1$ и $a^2 - 2a + 4$ были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между любыми двумя соседними членами должна быть постоянной.

Обозначим члены прогрессии как $b_1, b_2, b_3, b_4$:

$b_1 = a^2 + 1$

$b_2 = 2a + 3$

$b_3 = 3a - 1$

$b_4 = a^2 - 2a + 4$

Должны выполняться равенства: $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$ и $b_3 - b_2 = b_4 - b_3$.

Составим первое уравнение из условия $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$:

$(2a + 3) - (a^2 + 1) = (3a - 1) - (2a + 3)$

$-a^2 + 2a + 2 = a - 4$

$a^2 - a - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$.

Теперь составим второе уравнение из условия $b_3 - b_2 = b_4 - b_3$:

$(3a - 1) - (2a + 3) = (a^2 - 2a + 4) - (3a - 1)$

$a - 4 = a^2 - 5a + 5$

$a^2 - 6a + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(a - 3)^2 = 0$.

Единственным решением этого уравнения является $a = 3$.

Так как оба условия должны выполняться одновременно, единственным подходящим значением является $a = 3$.

Найдем члены прогрессии, подставив $a = 3$ в исходные выражения:

$b_1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$b_2 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$

$b_3 = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8$

$b_4 = 3^2 - 2(3) + 4 = 9 - 6 + 4 = 7$

Полученная последовательность 10, 9, 8, 7 действительно является арифметической прогрессией с разностью $d = -1$.

Ответ: при $a = 3$; члены прогрессии: 10, 9, 8, 7.