Номер 28, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 28, страница 59.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики

1. В классе учится 30 человек, из которых 14 — девочки. Какова вероятность того, что выбранные наугад 4 ученика класса окажутся девочками?

2. Для ремонта купили 12 банок белой краски, 7 банок голубой краски и 4 банки коричневой краски. Наугад выбирают 12 банок краски. Какова вероятность того, что среди выбранных банок будут 5 банок белой краски, 4 банки голубой краски и 3 банки коричневой краски?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «ПЕРЕВОЗЧИК». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «ПЕРО»?

Решение.

1. Вероятность события A (выбранные 4 ученика окажутся девочками) вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.
Общее число учеников в классе — 30, из них 14 девочек.
1. Найдем общее число способов выбрать 4 ученика из 30. Это число сочетаний из 30 по 4:
$n = C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4!26!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 27405$ способов.
2. Найдем число благоприятных исходов — количество способов выбрать 4 девочки из 14:
$m = C_{14}^4 = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4!10!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ способ.
3. Вычислим вероятность:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1001}{27405}$.
Сократим дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$1001 = 7 \times 11 \times 13$
$27405 = 5 \times 5481 = 5 \times 9 \times 609 = 5 \times 3^2 \times 3 \times 203 = 5 \times 3^3 \times 7 \times 29$
$P(A) = \frac{7 \times 11 \times 13}{3^3 \times 5 \times 7 \times 29} = \frac{11 \times 13}{27 \times 5 \times 29} = \frac{143}{3915}$.
Ответ: $\frac{143}{3915}$.

2. Всего куплено $12 + 7 + 4 = 23$ банки краски. Наугад выбирают 12 банок.
Событие A — среди выбранных 12 банок будет 5 белых, 4 голубых и 3 коричневых.
Вероятность вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$.
1. Общее число способов выбрать 12 банок из 23 — это число сочетаний из 23 по 12:
$n = C_{23}^{12} = \frac{23!}{12!(23-12)!} = \frac{23!}{12!11!} = 1352078$ способов.
2. Число благоприятных исходов $m$ найдем по правилу произведения комбинаций: нужно выбрать 5 белых банок из 12, 4 голубых из 7 и 3 коричневых из 4.
- Способов выбрать 5 белых из 12: $C_{12}^5 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$.
- Способов выбрать 4 голубых из 7: $C_7^4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
- Способов выбрать 3 коричневых из 4: $C_4^3 = \frac{4}{1} = 4$.
Общее число благоприятных исходов:
$m = C_{12}^5 \times C_7^4 \times C_4^3 = 792 \times 35 \times 4 = 110880$.
3. Вычислим вероятность:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{110880}{1352078}$.
Сократим дробь на 2:
$P(A) = \frac{55440}{676039}$.
Ответ: $\frac{55440}{676039}$.

3. Слово «ПЕРЕВОЗЧИК» состоит из 10 букв. В нем есть повторяющиеся буквы: буква 'Е' встречается 2 раза, остальные 8 букв (П, Р, В, О, З, Ч, И, К) — по одному разу.
Событие A — из выбранных четырех букв можно составить слово «ПЕРО». Это означает, что должны быть выбраны именно буквы П, Е, Р, О.
Вероятность вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$.
При расчете исходов будем считать все 10 букв в слове различными (например, Е1 и Е2).
1. Общее число способов выбрать 4 буквы из 10 — это число сочетаний из 10 по 4:
$n = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ способов.
2. Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать набор букв {П, Е, Р, О}.
- Выбрать букву 'П' можно одним способом (т.к. она одна): $C_1^1 = 1$.
- Выбрать букву 'Е' можно двумя способами (т.к. их две): $C_2^1 = 2$.
- Выбрать букву 'Р' можно одним способом: $C_1^1 = 1$.
- Выбрать букву 'О' можно одним способом: $C_1^1 = 1$.
По правилу произведения, общее число благоприятных исходов:
$m = C_1^1 \times C_2^1 \times C_1^1 \times C_1^1 = 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 2$.
3. Вычислим вероятность:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{210} = \frac{1}{105}$.
Ответ: $\frac{1}{105}$.