Номер 32, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 32, страница 61.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Геометрическая прогрессия

1. Между числами 625 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.

2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_{12} = 36b_{10}$ и $b_3 + b_6 = -252$.

3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 2 и 3, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

1.

Пусть данная геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из 5 членов, где первый член $b_1 = 625$ и пятый член $b_5 = 81$. Нам нужно найти три числа между ними: $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Для пятого члена прогрессии запишем:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения, чтобы найти $q$:

$81 = 625 \cdot q^4$

$q^4 = \frac{81}{625}$

$q^4 = (\frac{3}{5})^4$

Из этого уравнения следует, что знаменатель $q$ может принимать два значения: $q = \frac{3}{5}$ или $q = -\frac{3}{5}$. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: $q = \frac{3}{5}$

$b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \frac{3}{5} = 125 \cdot 3 = 375$

$b_3 = b_2 \cdot q = 375 \cdot \frac{3}{5} = 75 \cdot 3 = 225$

$b_4 = b_3 \cdot q = 225 \cdot \frac{3}{5} = 45 \cdot 3 = 135$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 135 \cdot \frac{3}{5} = 27 \cdot 3 = 81$. Верно.

Полученная прогрессия: 625, 375, 225, 135, 81.

Случай 2: $q = -\frac{3}{5}$

$b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot (-\frac{3}{5}) = -375$

$b_3 = b_2 \cdot q = -375 \cdot (-\frac{3}{5}) = 225$

$b_4 = b_3 \cdot q = 225 \cdot (-\frac{3}{5}) = -135$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -135 \cdot (-\frac{3}{5}) = 27 \cdot 3 = 81$. Верно.

Полученная прогрессия: 625, -375, 225, -135, 81.

Ответ: 625, 375, 225, 135, 81 или 625, -375, 225, -135, 81.

2.

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из первого условия $b_{12} = 36b_{10}$ найдем знаменатель $q$:

$b_1 \cdot q^{12-1} = 36 \cdot (b_1 \cdot q^{10-1})$

$b_1 \cdot q^{11} = 36 \cdot b_1 \cdot q^9$

Поскольку прогрессия существует (сумма членов не равна 0), $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Сократим обе части на $b_1 \cdot q^9$:

$q^2 = 36$

Отсюда получаем два возможных значения для $q$: $q_1 = 6$ и $q_2 = -6$.

Теперь используем второе условие $b_3 + b_6 = -252$ для нахождения $b_1$ для каждого из найденных $q$.

$b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^5 = -252$

$b_1(q^2 + q^5) = -252$

Случай 1: $q = 6$

$b_1(6^2 + 6^5) = -252$

$b_1(36 + 7776) = -252$

$b_1 \cdot 7812 = -252$

$b_1 = -\frac{252}{7812} = -\frac{1}{31}$

Случай 2: $q = -6$

$b_1((-6)^2 + (-6)^5) = -252$

$b_1(36 - 7776) = -252$

$b_1 \cdot (-7740) = -252$

$b_1 = \frac{-252}{-7740} = \frac{252}{7740} = \frac{7}{215}$

Ответ: $b_1 = -1/31$, $q = 6$ или $b_1 = 7/215$, $q = -6$.

3.

Пусть три исходных числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Удобно представить их в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ - средний член, а $d$ - разность прогрессии.

Сумма этих чисел равна 24:

$(a-d) + a + (a+d) = 24$

$3a = 24$

$a = 8$

Значит, исходные числа имеют вид: $8-d, 8, 8+d$.

Теперь преобразуем эти числа по условию:

• Первое число оставляем без изменений: $b_1 = 8-d$
• Из второго вычитаем 2: $b_2 = 8-2 = 6$
• Из третьего вычитаем 3: $b_3 = (8+d)-3 = 5+d$

Полученные числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим наши выражения:

$6^2 = (8-d)(5+d)$

$36 = 40 + 8d - 5d - d^2$

$36 = 40 + 3d - d^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$d^2 - 3d - 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни легко находятся: $d_1 = 4$ и $d_2 = -1$.

Найдем исходные числа для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 4$

Исходные числа: $8-4, 8, 8+4$, то есть 4, 8, 12.

Проверка: 4, 8, 12 - арифметическая прогрессия, сумма 24. Новые числа: 4, 8-2=6, 12-3=9. Последовательность 4, 6, 9 является геометрической ($6^2=36, 4 \cdot 9=36$). Верно.

Случай 2: $d = -1$

Исходные числа: $8-(-1), 8, 8+(-1)$, то есть 9, 8, 7.

Проверка: 9, 8, 7 - арифметическая прогрессия, сумма 24. Новые числа: 9, 8-2=6, 7-3=4. Последовательность 9, 6, 4 является геометрической ($6^2=36, 9 \cdot 4=36$). Верно.

Ответ: 4, 8, 12 или 9, 8, 7.