Номер 2, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Квадратичная функция. Вариант 1. Контрольные работы - номер 2, страница 63.

Условие.

2. Найдите область значений функции $y = \frac{2x - 10}{x^2}$.

Решение.

Чтобы найти область значений функции $y = \frac{2x - 10}{x^2}$, необходимо определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$. Для этого рассмотрим данное выражение как уравнение относительно $x$, где $y$ является параметром.

Область определения функции (ОДЗ) задается условием $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$.

Преобразуем исходное уравнение:

$y \cdot x^2 = 2x - 10$

$y x^2 - 2x + 10 = 0$

Это уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение $x$, удовлетворяющее ОДЗ.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y = 0$

Если $y=0$, уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 - 2x + 10 = 0$

$-2x = -10$

$x = 5$

Поскольку мы нашли действительное решение $x = 5$, которое не равно нулю, значение $y=0$ входит в область значений функции.

Случай 2: $y \neq 0$

При $y \neq 0$ уравнение $y x^2 - 2x + 10 = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot 10 = 4 - 40y$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$4 - 40y \ge 0$

$4 \ge 40y$

$y \le \frac{4}{40}$

$y \le \frac{1}{10}$

Это означает, что для любого $y$ из промежутка $(-\infty, \frac{1}{10}]$, кроме $y=0$, существуют действительные значения $x$.

Объединяя результаты обоих случаев ($y=0$ и $y \le \frac{1}{10}$), получаем, что область значений функции — это все числа, не превышающие $\frac{1}{10}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{10}]$