Номер 3, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Квадратичная функция. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 63.

Условие.

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = 2x - x^5;$

2) $y = \frac{x^6 - 2x^5}{2 - x};$

3) $y = \frac{|x - 1|}{(2x + 3)^2} + \frac{|x + 1|}{(2x - 3)^2}.$

Решение.

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Найти область определения функции $D(f)$ и проверить, является ли она симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Если область определения несимметрична, то функция не является ни чётной, ни нечётной.
2. Если область определения симметрична, нужно найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $y = 2x - x^5$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = 2(-x) - (-x)^5 = -2x - (-x^5) = -2x + x^5 = -(2x - x^5) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $y = \frac{x^6 - 2x^5}{2-x}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = -2$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $-x = 2$ — не принадлежит.

Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $y = \frac{|x-1|}{(2x+3)^2} + \frac{|x+1|}{(2x-3)^2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3/2$.

$2x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3/2$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -3/2) \cup (-3/2; 3/2) \cup (3/2; +\infty)$.

Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{|-x-1|}{(2(-x)+3)^2} + \frac{|-x+1|}{(2(-x)-3)^2} = \frac{|-(x+1)|}{(-2x+3)^2} + \frac{|-(x-1)|}{(-2x-3)^2}$

Используем свойства модуля $|-a| = |a|$ и квадрата $(-a)^2 = a^2$:

$y(-x) = \frac{|x+1|}{(3-2x)^2} + \frac{|x-1|}{(-(2x+3))^2} = \frac{|x+1|}{(2x-3)^2} + \frac{|x-1|}{(2x+3)^2}$.

Поменяв слагаемые местами, получим:

$y(-x) = \frac{|x-1|}{(2x+3)^2} + \frac{|x+1|}{(2x-3)^2} = y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.