Номер 34, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 34, страница 62.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Представление о пределе последовательности.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) -72, 24, -8, ... ;

2) 12, $6\sqrt{2}$, 2, ... .

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,333... ;

2) 4,2(41).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $|q| < 1$, сумма членов с нечётными номерами равна 24, а сумма членов с чётными номерами равна -8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

1.

1) -72, 24, -8, ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия. Найдем её первый член и знаменатель.
Первый член прогрессии $b_1 = -72$.
Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{24}{-72} = -\frac{1}{3}$.
Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, следовательно, это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, и ее сумму можно вычислить по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:
$S = \frac{-72}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-72}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-72}{\frac{4}{3}} = -72 \cdot \frac{3}{4} = -18 \cdot 3 = -54$.
Ответ: -54.

2) 12, $6\sqrt{2}$, 2, ...

Для того чтобы последовательность была геометрической прогрессией, отношение любого ее члена к предыдущему должно быть постоянным. Проверим это условие:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{6}$, данная последовательность не является геометрической прогрессией. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Будем считать, что первый и третий члены указаны верно ($b_1=12$, $b_3=2$), а второй член является средним геометрическим между ними.
$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{12 \cdot 2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
В этом случае прогрессия имеет вид: 12, $2\sqrt{6}$, 2, ...
Ее знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.
Проверим: $b_3 = b_2 \cdot q = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{2 \cdot 6}{6} = 2$. Условие выполняется.
Модуль знаменателя $|q| = \frac{\sqrt{6}}{6} < 1$, так как $\sqrt{6} < 6$. Найдем сумму этой прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{12}{1 - \frac{\sqrt{6}}{6}} = \frac{12}{\frac{6-\sqrt{6}}{6}} = \frac{12 \cdot 6}{6-\sqrt{6}} = \frac{72}{6-\sqrt{6}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(6+\sqrt{6})$:
$S = \frac{72(6+\sqrt{6})}{(6-\sqrt{6})(6+\sqrt{6})} = \frac{72(6+\sqrt{6})}{36-6} = \frac{72(6+\sqrt{6})}{30} = \frac{12 \cdot 6 \cdot (6+\sqrt{6})}{5 \cdot 6} = \frac{12(6+\sqrt{6})}{5}$.
Ответ: $\frac{12(6+\sqrt{6})}{5}$.

2.

1) 0,333...

Число $0,333...$ является чистой периодической десятичной дробью $0,(3)$.
Представим его как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ...$
Здесь первый член $b_1 = 0,3$, а знаменатель $q = 0,1$.
Найдем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) 4,2(41)

Число $4,2(41)$ является смешанной периодической десятичной дробью $4,24141...$
Пусть $x = 4,24141...$
Умножим на 10, чтобы часть до периода стала целой:
$10x = 42,4141...$
Умножим на 1000 (на $10^3$, где 3 - количество цифр до конца первого периода), чтобы сдвинуть запятую за первый период:
$1000x = 4241,4141...$
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:
$1000x - 10x = 4241,4141... - 42,4141...$
$990x = 4199$
$x = \frac{4199}{990}$.
Ответ: $\frac{4199}{990}$.

3.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Последовательность членов с нечётными номерами ($b_1, b_3, b_5, ...$) имеет вид $b_1, b_1q^2, b_1q^4, ...$. Это тоже бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q^2$. Сумма этой прогрессии $S_{нечёт}$ равна:
$S_{нечёт} = \frac{b_1}{1-q^2}$.
По условию, $S_{нечёт} = 24$, значит, $\frac{b_1}{1-q^2} = 24$. (1)
Последовательность членов с чётными номерами ($b_2, b_4, b_6, ...$) имеет вид $b_1q, b_1q^3, b_1q^5, ...$. Это бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член равен $b_1q$, а знаменатель также равен $q^2$. Сумма этой прогрессии $S_{чёт}$ равна:
$S_{чёт} = \frac{b_1q}{1-q^2}$.
По условию, $S_{чёт} = -8$, значит, $\frac{b_1q}{1-q^2} = -8$. (2)
Составим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q^2} = 24 \\ \frac{b_1q}{1-q^2} = -8 \end{cases}$
Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{\frac{b_1q}{1-q^2}}{\frac{b_1}{1-q^2}} = \frac{-8}{24}$
$q = -\frac{1}{3}$.
Теперь подставим найденное значение $q$ в уравнение (1), чтобы найти $b_1$:
$\frac{b_1}{1-(-\frac{1}{3})^2} = 24$
$\frac{b_1}{1-\frac{1}{9}} = 24$
$\frac{b_1}{\frac{8}{9}} = 24$
$b_1 = 24 \cdot \frac{8}{9} = \frac{192}{9} = \frac{64}{3}$.
Ответ: $b_1 = \frac{64}{3}, q = -\frac{1}{3}$.