Номер 6, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 6, страница 63.

Условие.

6. Решите уравнение

$\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = \frac{12}{x}$

Решение.

Исходное уравнение: $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = \frac{12}{x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$
Во-вторых, знаменатель в правой части не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
В-третьих, левая часть уравнения представляет собой сумму двух арифметических квадратных корней, поэтому она всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:
$\frac{12}{x} \ge 0$
Поскольку числитель $12 > 0$, знаменатель также должен быть положительным: $x > 0$.
Объединяя все условия ($x \ge 2$, $x \ge -6$, $x \ne 0$ и $x > 0$), получаем общую ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Проанализируем монотонность функций в левой и правой частях уравнения на ОДЗ.
Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}$. Эта функция является суммой двух возрастающих функций на промежутке $[2, +\infty)$, поэтому $f(x)$ строго возрастает на этом промежутке.
Рассмотрим функцию в правой части уравнения: $g(x) = \frac{12}{x}$. Эта функция является убывающей на промежутке $[2, +\infty)$.
Поскольку строго возрастающая функция $f(x)$ и строго убывающая функция $g(x)$ могут пересечься не более чем в одной точке, данное уравнение имеет не более одного решения.

3. Найдем решение методом подбора.
Попробуем подставить целое значение $x$ из ОДЗ. Возьмем $x=3$.
Проверим левую часть: $\sqrt{3-2} + \sqrt{3+6} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$.
Проверим правую часть: $\frac{12}{3} = 4$.
Так как $4=4$, то $x=3$ является корнем уравнения.

Поскольку мы установили, что уравнение может иметь не более одного корня, и мы нашли этот корень, то $x=3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$.