Номер 6, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 6, страница 64.

Условие.

6. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $x^2 - 4ax + 4a^2 - a - 10 = 0$ меньше 1?

Решение.

Для того чтобы все корни квадратного уравнения $x^2 - 4ax + 4a^2 - a - 10 = 0$ были меньше 1, необходимо и достаточно выполнения трех условий. Обозначим $f(x) = x^2 - 4ax + 4a^2 - a - 10$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Для того чтобы оба корня параболы (или один двукратный корень) находились левее числа 1, должны одновременно выполняться следующие условия:

1. Дискриминант уравнения должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело действительные корни: $D \ge 0$.

2. Абсцисса вершины параболы $x_в$ должна быть меньше 1: $x_в < 1$.

3. Значение функции в точке $x=1$ должно быть положительным: $f(1) > 0$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Условие существования действительных корней

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения: $D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a - 10) = 16a^2 - 16a^2 + 4a + 40 = 4a + 40$. Из условия $D \ge 0$ следует неравенство: $4a + 40 \ge 0$, откуда $4a \ge -40$ и $a \ge -10$.

2. Условие для абсциссы вершины параболы

Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a_{коэф}} = -\frac{-4a}{2 \cdot 1} = 2a$. Из условия $x_в < 1$ следует неравенство: $2a < 1$, откуда $a < \frac{1}{2}$.

3. Условие для значения функции в точке x=1

Найдем значение функции $f(x)$ в точке $x=1$: $f(1) = 1^2 - 4a(1) + 4a^2 - a - 10 = 1 - 4a + 4a^2 - a - 10 = 4a^2 - 5a - 9$. Из условия $f(1) > 0$ следует неравенство $4a^2 - 5a - 9 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $4a^2 - 5a - 9 = 0$: $a_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9)}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{8} = \frac{5 \pm 13}{8}$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{5-13}{8} = -1$ и $a_2 = \frac{5+13}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$. Так как парабола $y = 4a^2 - 5a - 9$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $a < -1$ или $a > \frac{9}{4}$.

Объединение всех условий

Теперь необходимо найти значения $a$, удовлетворяющие всем трем условиям одновременно, то есть решить систему неравенств: $$ \begin{cases} a \ge -10 \\ a < \frac{1}{2} \\ a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{9}{4}; +\infty) \end{cases} $$ Из первых двух неравенств получаем, что $a \in [-10; \frac{1}{2})$. Теперь найдем пересечение этого интервала с решением третьего неравенства. Пересечение интервала $[-10; \frac{1}{2})$ с множеством $(-\infty; -1) \cup (\frac{9}{4}; +\infty)$ дает нам итоговый результат. Разобьем на два случая: 1) $[-10; \frac{1}{2}) \cap (-\infty; -1) = [-10; -1)$. 2) $[-10; \frac{1}{2}) \cap (\frac{9}{4}; +\infty) = \emptyset$ (пустое множество), так как $\frac{1}{2} < \frac{9}{4}$. Объединив результаты, получаем, что итоговым решением системы является интервал $[-10; -1)$.

Ответ: $a \in [-10; -1)$.