Номер 7, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 1. Квадратичная функция - номер 7, страница 63.

Условие.

7. Найдите наименьшее значение функции

$f(x) = (x^2 + 2x)^2 + 4(x^2 + 2x) + 5.$

Решение.

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = (x^2 + 2x)^2 + 4(x^2 + 2x) + 5$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда исходная функция может быть записана как функция от $t$: $g(t) = t^2 + 4t + 5$.

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $g(t)$. Для этого сначала определим область значений переменной $t$. Функция $t(x) = x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение находится в вершине. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Минимальное значение $t$ равно: $t_{min} = t(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Следовательно, область значений для $t$ — это промежуток $[-1; +\infty)$.

Далее, найдем наименьшее значение функции $g(t) = t^2 + 4t + 5$ на промежутке $[-1; +\infty)$. График $g(t)$ — это также парабола с ветвями вверх. Ее вершина находится в точке $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Эта точка не входит в промежуток $[-1; +\infty)$. Поскольку наш промежуток находится правее вершины, функция $g(t)$ на нем монотонно возрастает. Значит, ее наименьшее значение достигается в левой границе промежутка, то есть при $t=-1$.

Вычислим это значение: $g(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$.

Этот же результат можно получить, выделив полный квадрат: $g(t) = t^2 + 4t + 5 = (t^2 + 4t + 4) + 1 = (t+2)^2 + 1$. Учитывая, что $t \ge -1$, получаем $t+2 \ge 1$, и наименьшее значение $(t+2)^2$ равно 1. Тогда наименьшее значение $g(t)$ равно $1+1=2$.

Таким образом, наименьшее значение исходной функции $f(x)$ равно 2.

Ответ: 2