Номер 4, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Квадратичная функция. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 63.

Условие.

4. Постройте график функции $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$.

Решение.

Для построения графика функции $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ определим его ключевые характеристики. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_0$ в функцию:
$y_0 = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(2; 1)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$):
$f(0) = -0^2 + 4(0) - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
С осью OX (нули функции, при $f(x)=0$):
$-x^2 + 4x - 3 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью OX: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

На основе этих точек (вершина $(2; 1)$, точки пересечения $(1; 0)$, $(3; 0)$ и $(0; -3)$) строим параболу.

Используя построенный график, найдем:

1) область значений функции
Область значений — это множество всех возможных значений $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а её наивысшая точка (вершина) имеет ординату 1, то функция принимает все значения от минус бесконечности до 1 включительно.
Ответ: $(-\infty; 1]$.

2) промежуток убывания функции
Функция убывает на том промежутке, где с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Для параболы с ветвями вниз это происходит справа от вершины. Абсцисса вершины $x=2$. Следовательно, функция убывает при $x \ge 2$.
Ответ: $[2; +\infty)$.

3) множество решений неравенства $f(x) > 0$
Неравенство $f(x) > 0$ означает, что мы ищем те значения $x$, при которых график функции расположен выше оси OX. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью OX, то есть между $x=1$ и $x=3$.
Ответ: $(1; 3)$.