Номер 4, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки - номер 4, страница 64.

Условие.

4. Решите неравенство:

1) $ (x+11)(x-3)(x+4) < 0; $

2) $ (x+1)(5-x)(x+4)^2 \ge 0; $

3) $ \frac{x}{x+1} - \frac{3}{x-3} + \frac{6x-1}{x^2-2x-3} \ge 0. $

Решение.

1) $(x+11)(x-3)(x+4) < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения: $(x+11)(x-3)(x+4) = 0$.
Корнями являются $x_1 = -11$, $x_2 = 3$, $x_3 = -4$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -11, -4, 3. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; -4)$, $(-4; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=4$:
$(4+11)(4-3)(4+4) = 15 \cdot 1 \cdot 8 = 120 > 0$. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться:
Интервал $(3; +\infty)$: +
Интервал $(-4; 3)$: -
Интервал $(-11; -4)$: +
Интервал $(-\infty; -11)$: -
Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть выбрать интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (-4; 3)$.

2) $(x+1)(5-x)(x+4)^2 \ge 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждой скобке был положительным:
$(x+1)(-(x-5))(x+4)^2 \ge 0$
$-(x+1)(x-5)(x+4)^2 \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x+1)(x-5)(x+4)^2 \le 0$
Применим метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x+1)(x-5)(x+4)^2 = 0$.
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 5$, $x_3 = -4$.
Обратим внимание, что корень $x = -4$ имеет четную кратность (равную 2), а корни $x = -1$ и $x = 5$ — нечетную (равную 1).
Отметим точки -4, -1, 5 на числовой прямой.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5; +\infty)$, взяв $x=6$:
$(6+1)(6-5)(6+4)^2 = 7 \cdot 1 \cdot 100 > 0$.
При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.
Интервал $(5; +\infty)$: +
Интервал $(-1; 5)$: - (переход через $x=5$)
Интервал $(-4; -1)$: + (переход через $x=-1$)
Интервал $(-\infty; -4)$: + (переход через $x=-4$, знак не меняется)
Нам нужно решить неравенство $(x+1)(x-5)(x+4)^2 \le 0$, то есть найти, где выражение отрицательно или равно нулю.
Выражение отрицательно в интервале $(-1; 5)$.
Выражение равно нулю в точках $x=-1$, $x=5$ и $x=-4$.
Объединяя эти результаты, получаем отрезок $[-1; 5]$ и изолированную точку $x=-4$.

Ответ: $x \in \{-4\} \cup [-1; 5]$.

3) $\frac{x}{x+1} - \frac{3}{x-3} + \frac{6x-1}{x^2-2x-3} \ge 0$

Сначала разложим на множители знаменатель третьей дроби: $x^2-2x-3$. Корни уравнения $x^2-2x-3=0$ — это $x_1=3$ и $x_2=-1$. Таким образом, $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne -1$ и $x \ne 3$.
Перепишем неравенство:
$\frac{x}{x+1} - \frac{3}{x-3} + \frac{6x-1}{(x-3)(x+1)} \ge 0$
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-3)$:
$\frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} - \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-3)} + \frac{6x-1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$
$\frac{x(x-3) - 3(x+1) + 6x-1}{(x+1)(x-3)} \ge 0$
Упростим числитель:
$x^2 - 3x - 3x - 3 + 6x - 1 = x^2 - 4$
Неравенство принимает вид:
$\frac{x^2 - 4}{(x+1)(x-3)} \ge 0$
Разложим числитель на множители: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-3)} \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Нули числителя (точки, где выражение равно 0): $x=2$, $x=-2$. Эти точки включаем в решение (закрашенные).
Нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $x=-1$, $x=3$. Эти точки исключаем из решения (выколотые).
Отметим точки -2, -1, 2, 3 на числовой прямой.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:
$\frac{(4-2)(4+2)}{(4+1)(4-3)} = \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 1} > 0$.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются:
Интервал $(3; +\infty)$: +
Интервал $(2; 3)$: -
Интервал $(-1; 2)$: +
Интервал $(-2; -1)$: -
Интервал $(-\infty; -2)$: +
Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю. Выбираем интервалы со знаком "+" и включаем нули числителя.
Получаем интервалы $(-\infty; -2]$, $(-1; 2]$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (-1; 2] \cup (3; +\infty)$.