Номер 3, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 65.

Условие.

3. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + 2y = -1 \\ 3x^2 + 5xy = -2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3xy - 2 = \frac{x^3}{y}, \\ 2xy - 1 = \frac{y^3}{x}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 3, \\ x^2 + 4xy - 2y^2 = 1. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = -1, \\ 3x^2 + 5xy = -2. \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = -1 - 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(-1 - 2y)^2 + 5(-1 - 2y)y = -2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3(1 + 4y + 4y^2) - 5y - 10y^2 = -2$

$3 + 12y + 12y^2 - 5y - 10y^2 = -2$

$2y^2 + 7y + 3 = -2$

$2y^2 + 7y + 5 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = -1 - 2y$:

1. При $y_1 = -2.5$, $x_1 = -1 - 2(-2.5) = -1 + 5 = 4$.

2. При $y_2 = -1$, $x_2 = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(4; -2.5)$, $(1; -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3xy - 2 = \frac{x^3}{y}, \\ 2xy - 1 = \frac{y^3}{x}. \end{cases}$

Область допустимых значений переменных: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Перемножим левые и правые части уравнений системы:

$(3xy - 2)(2xy - 1) = \frac{x^3}{y} \cdot \frac{y^3}{x}$

Раскроем скобки в левой части и упростим правую часть:

$6(xy)^2 - 3xy - 4xy + 2 = x^2y^2$

$6(xy)^2 - 7xy + 2 = (xy)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$5(xy)^2 - 7xy + 2 = 0$

Сделаем замену переменной $t = xy$. Получим квадратное уравнение:

$5t^2 - 7t + 2 = 0$

Найдем его корни:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Вернемся к замене и рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 1$.

Подставим это значение в первое уравнение исходной системы:

$3(1) - 2 = \frac{x^3}{y} \Rightarrow 1 = \frac{x^3}{y} \Rightarrow y = x^3$.

Теперь подставим $y = x^3$ в уравнение $xy = 1$:

$x(x^3) = 1 \Rightarrow x^4 = 1$.

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Если $x=1$, то $y = 1/x = 1/1 = 1$.

Если $x=-1$, то $y = 1/x = 1/(-1) = -1$.

Получаем две пары решений: $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Случай 2: $xy = 0.4$ или $xy = 2/5$.

Подставим это значение в первое уравнение исходной системы:

$3(\frac{2}{5}) - 2 = \frac{x^3}{y} \Rightarrow \frac{6}{5} - \frac{10}{5} = \frac{x^3}{y} \Rightarrow -\frac{4}{5} = \frac{x^3}{y}$.

Отсюда $x^3 = -\frac{4}{5}y$. Из $xy = 2/5$ имеем $y = \frac{2}{5x}$. Подставим:

$x^3 = -\frac{4}{5} \left(\frac{2}{5x}\right) \Rightarrow x^3 = -\frac{8}{25x} \Rightarrow x^4 = -\frac{8}{25}$.

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 3, \\ x^2 + 4xy - 2y^2 = 1. \end{cases}$

Это система с однородными левыми частями. Чтобы сделать ее полностью однородной, избавимся от свободных членов. Умножим второе уравнение на 3:

$3(x^2 + 4xy - 2y^2) = 3 \cdot 1 \Rightarrow 3x^2 + 12xy - 6y^2 = 3$.

Теперь правые части обоих уравнений равны 3. Приравняем их левые части:

$x^2 - 3xy + 2y^2 = 3x^2 + 12xy - 6y^2$

Перенесем все члены в правую сторону и приведем подобные:

$2x^2 + 15xy - 8y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Если предположить, что $y=0$, то $2x^2=0$, откуда $x=0$. Пара $(0;0)$ не удовлетворяет исходной системе. Следовательно, $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 15\left(\frac{x}{y}\right) - 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$ и решим квадратное уравнение $2t^2 + 15t - 8 = 0$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-32}{4} = -8$

$t_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -8$, то есть $x = -8y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы ($x^2 + 4xy - 2y^2 = 1$):

$(-8y)^2 + 4(-8y)y - 2y^2 = 1$

$64y^2 - 32y^2 - 2y^2 = 1$

$30y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{30} \Rightarrow y = \pm\frac{1}{\sqrt{30}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{30}$.

Если $y = \frac{\sqrt{30}}{30}$, то $x = -8y = -\frac{8\sqrt{30}}{30} = -\frac{4\sqrt{30}}{15}$.

Если $y = -\frac{\sqrt{30}}{30}$, то $x = -8y = \frac{8\sqrt{30}}{30} = \frac{4\sqrt{30}}{15}$.

Получаем две пары решений: $\left(-\frac{4\sqrt{30}}{15}; \frac{\sqrt{30}}{30}\right)$ и $\left(\frac{4\sqrt{30}}{15}; -\frac{\sqrt{30}}{30}\right)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, то есть $y = 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x^2 + 4x(2x) - 2(2x)^2 = 1$

$x^2 + 8x^2 - 2(4x^2) = 1$

$x^2 + 8x^2 - 8x^2 = 1$

$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$.

Если $x=1$, то $y = 2x = 2$.

Если $x=-1$, то $y = 2x = -2$.

Получаем еще две пары решений: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $(1; 2)$, $(-1; -2)$, $\left(-\frac{4\sqrt{30}}{15}; \frac{\sqrt{30}}{30}\right)$, $\left(\frac{4\sqrt{30}}{15}; -\frac{\sqrt{30}}{30}\right)$.