Номер 5, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 5, страница 66.

Условие.

5. Известно, что $a > 0$, $b > 0$ и $2a + 3b = 12$. Найдите наибольшее значение выражения $ab$.

Решение.

Для нахождения наибольшего значения выражения $ab$ при заданных ограничениях $a > 0$, $b > 0$ и $2a + 3b = 12$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Неравенство Коши для двух положительных чисел $x$ и $y$ гласит, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:$$ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} $$Равенство достигается в том и только в том случае, когда $x=y$.

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем применить это неравенство к положительным числам $x=2a$ и $y=3b$:$$ \frac{2a + 3b}{2} \ge \sqrt{(2a)(3b)} $$

Из условия известно, что $2a + 3b = 12$. Подставим это значение в левую часть неравенства:$$ \frac{12}{2} \ge \sqrt{6ab} $$$$ 6 \ge \sqrt{6ab} $$

Возведем обе части неравенства в квадрат (это преобразование является равносильным, так как обе части неотрицательны):$$ 36 \ge 6ab $$

Разделив обе части на 6, получим:$$ 6 \ge ab \quad \text{или} \quad ab \le 6 $$

Следовательно, наибольшее значение выражения $ab$ равно 6. Это значение достигается, когда в неравенстве Коши выполняется равенство, то есть при $2a = 3b$.

Чтобы найти соответствующие значения $a$ и $b$, решим систему уравнений:$$ \begin{cases} 2a + 3b = 12 \\ 2a = 3b \end{cases} $$Подставим $3b$ вместо $2a$ в первое уравнение:$$ 3b + 3b = 12 \implies 6b = 12 \implies b = 2 $$Теперь найдем $a$:$$ 2a = 3 \cdot 2 \implies 2a = 6 \implies a = 3 $$При $a=3$ и $b=2$ произведение $ab = 3 \cdot 2 = 6$, что подтверждает, что максимальное значение достигается.

Ответ: 6

Способ 2: Метод подстановки и исследование функции

Из уравнения $2a + 3b = 12$ выразим одну переменную через другую. Например, выразим $a$:$$ 2a = 12 - 3b $$$$ a = \frac{12 - 3b}{2} = 6 - 1.5b $$

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в произведение $ab$, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $b$:$$ P(b) = a \cdot b = (6 - 1.5b) \cdot b = 6b - 1.5b^2 $$

Эта функция $P(b) = -1.5b^2 + 6b$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $b^2$ отрицателен ($-1.5 < 0$). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = kx^2 + mx + n$ находим по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$. В нашем случае:$$ b_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1.5)} = -\frac{6}{-3} = 2 $$

Таким образом, произведение $ab$ достигает максимума при $b=2$. Найдем соответствующее значение $a$:$$ a = 6 - 1.5 \cdot 2 = 6 - 3 = 3 $$

Найденные значения $a=3$ и $b=2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$. Максимальное значение произведения $ab$ равно:$$ ab = 3 \cdot 2 = 6 $$

Ответ: 6