Номер 6, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 6, страница 66.

Условие.

6. При каких значениях параметра $a$ система неравенств

$$\begin{cases} x^2 - 2x - a + 3 \le 0, \\ a - x \le 3 \end{cases}$$

имеет решение?

Решение.

Для того чтобы система неравенств имела решение, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых существует хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее обоим неравенствам системы:

$$\begin{cases}x^2 - 2x - a + 3 \le 0, \\a - x \le 3\end{cases}$$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности. Сначала преобразуем второе неравенство:

$a - x \le 3 \implies -x \le 3 - a \implies x \ge a - 3$.

Теперь рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 2x - a + 3 \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 - 2x - a + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Неравенство будет иметь решения только в том случае, если парабола пересекает ось абсцисс или касается ее. Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - a + 3 = 0$ должен быть неотрицательным.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a + 3) = 4 - 4(3-a) = 4 - 12 + 4a = 4a - 8$.

Условие $D \ge 0$ дает нам:

$4a - 8 \ge 0 \implies 4a \ge 8 \implies a \ge 2$.

При $a \ge 2$ корни уравнения $x^2 - 2x - a + 3 = 0$ равны:

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4a - 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{a - 2}$.

Следовательно, решение первого неравенства (при $a \ge 2$) представляет собой отрезок:

$x \in [1 - \sqrt{a - 2}, 1 + \sqrt{a - 2}]$.

Система неравенств имеет решение, если пересечение множеств решений обоих неравенств не пусто.

Это означает, что должен существовать $x$, удовлетворяющий условиям $x \in [1 - \sqrt{a - 2}, 1 + \sqrt{a - 2}]$ и $x \ge a - 3$.

Для того чтобы пересечение этих двух промежутков было непустым, необходимо, чтобы правая граница первого отрезка была больше или равна левой границе второго:

$1 + \sqrt{a - 2} \ge a - 3$.

Решим это иррациональное неравенство:

$\sqrt{a - 2} \ge a - 4$.

Решение должно удовлетворять ранее найденному условию $a \ge 2$. Рассмотрим два случая.

Первый случай: правая часть неравенства отрицательна.

$a - 4 < 0 \implies a < 4$.

С учетом условия $a \ge 2$, получаем $a \in [2, 4)$.

При этих значениях $a$ левая часть $\sqrt{a - 2}$ неотрицательна, а правая $a - 4$ отрицательна. Неотрицательное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство выполняется для всех $a$ из данного промежутка.

Второй случай: правая часть неравенства неотрицательна.

$a - 4 \ge 0 \implies a \ge 4$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{a - 2})^2 \ge (a - 4)^2$

$a - 2 \ge a^2 - 8a + 16$

$0 \ge a^2 - 9a + 18$ или $a^2 - 9a + 18 \le 0$.

Корнями уравнения $a^2 - 9a + 18 = 0$ являются $a_1 = 3$ и $a_2 = 6$.

Решением неравенства $a^2 - 9a + 18 \le 0$ является отрезок $[3, 6]$.

Учитывая условие этого случая $a \ge 4$, находим пересечение: $[3, 6] \cap [4, +\infty) = [4, 6]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Решение из первого случая: $a \in [2, 4)$.

Решение из второго случая: $a \in [4, 6]$.

Их объединение дает: $[2, 4) \cup [4, 6] = [2, 6]$.

Ответ: $a \in [2, 6]$.