Номер 6, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Элементы прикладной математики - номер 6, страница 67.

Условие.

6. Группа из 32 туристов расположилась на стоянке в двухместных, трёхместных и шестиместных палатках.

Известно, что трёхместных палаток было меньше, чем шестиместных, а шестиместных палаток меньше, чем двухместных.

Сколько было палаток каждого вида?

Решение.

Пусть $x$ – количество двухместных палаток, $y$ – количество трёхместных палаток, а $z$ – количество шестиместных палаток. Поскольку всего было 32 туриста, мы можем составить следующее уравнение:

$2x + 3y + 6z = 32$

Из условия задачи известно, что трёхместных палаток было меньше, чем шестиместных, а шестиместных меньше, чем двухместных. Это можно записать в виде неравенства:

$y < z < x$

Поскольку количество палаток должно быть целым положительным числом, то $y \ge 1$. Из неравенства следует, что $z > y \ge 1$, значит $z \ge 2$. Также $x > z \ge 2$, значит $x \ge 3$.

Для решения задачи будем перебирать возможные значения $z$, начиная с наименьшего возможного.

1. Пусть $z = 2$ (две шестиместные палатки).

Из неравенства $y < z$ следует, что $y$ может быть только 1. Подставим $z=2$ и $y=1$ в основное уравнение: $2x + 3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 = 32$ $2x + 3 + 12 = 32$ $2x + 15 = 32$ $2x = 17$ $x = 8.5$ Количество палаток не может быть дробным числом, поэтому этот вариант не подходит.

2. Пусть $z = 3$ (три шестиместные палатки).

Из неравенства $y < z$ следует, что $y$ может быть 1 или 2.

- Если $y = 1$: $2x + 3 \cdot 1 + 6 \cdot 3 = 32$ $2x + 3 + 18 = 32$ $2x + 21 = 32$ $2x = 11$ $x = 5.5$ (не целое число, не подходит).

- Если $y = 2$: $2x + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 = 32$ $2x + 6 + 18 = 32$ $2x + 24 = 32$ $2x = 8$ $x = 4$ Получили целые значения: $x=4$, $y=2$, $z=3$. Проверим неравенство $y < z < x$: $2 < 3 < 4$. Неравенство выполняется. Это возможное решение.

3. Пусть $z = 4$ (четыре шестиместные палатки).

Из неравенства $y < z$ следует, что $y$ может быть 1, 2 или 3. Подставим $z=4$ в уравнение: $2x + 3y + 6 \cdot 4 = 32$ $2x + 3y + 24 = 32$ $2x + 3y = 8$

- Если $y = 1$: $2x + 3 \cdot 1 = 8 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$ (не подходит).

- Если $y = 2$: $2x + 3 \cdot 2 = 8 \implies 2x + 6 = 8 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Проверим неравенство $y < z < x$: $2 < 4 < 1$. Неверно, поэтому этот вариант не подходит.

- Если $y=3$: $2x + 3 \cdot 3 = 8 \implies 2x + 9 = 8 \implies 2x = -1$. Количество палаток не может быть отрицательным.

4. Пусть $z = 5$ (пять шестиместных палаток).

$6 \cdot 5 = 30$ туристов разместятся в шестиместных палатках. На остальные палатки остаётся $32 - 30 = 2$ туриста. $2x + 3y = 2$. Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами ($x \ge 1, y \ge 1$), это уравнение не имеет решений в таких числах (минимальная сумма $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$).

Если $z$ будет равно 6 или больше, то количество туристов в шестиместных палатках ($6z$) превысит 32, что невозможно.

Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее всем условиям, это $x=4$, $y=2$, $z=3$.

Ответ: было 4 двухместные палатки, 2 трёхместные палатки и 3 шестиместные палатки.