Номер 4, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 5. Элементы прикладной математики - номер 4, страница 67.

Условие.

4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 16 км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист и встретились через 1 ч. Найдите скорость каждого из них, если велосипедист потратил на весь путь на 2 ч 40 мин меньше, чем пешеход.

Решение.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_п + v_в$. Они встретились через 1 час, преодолев вместе расстояние в 16 км. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, получаем:
$16 = (v_п + v_в) \cdot 1$
Отсюда следует первое уравнение системы:
$v_п + v_в = 16$

Теперь рассмотрим второе условие. Время, которое пешеход тратит на весь путь в 16 км, равно $t_п = \frac{16}{v_п}$ ч. Время, которое велосипедист тратит на тот же путь, равно $t_в = \frac{16}{v_в}$ ч.

По условию, велосипедист потратил на 2 ч 40 мин меньше времени. Переведем эту разницу в часы:
$2 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{8}{3} \text{ ч }$

Таким образом, разница во времени составляет $t_п - t_в = \frac{8}{3}$. Отсюда получаем второе уравнение системы:
$\frac{16}{v_п} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3}$

Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} v_п + v_в = 16 \\ \frac{16}{v_п} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v_в$: $v_в = 16 - v_п$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{16}{v_п} - \frac{16}{16 - v_п} = \frac{8}{3}$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения:
$\frac{2}{v_п} - \frac{2}{16 - v_п} = \frac{1}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{2(16 - v_п) - 2v_п}{v_п(16 - v_п)} = \frac{1}{3}$
$\frac{32 - 2v_п - 2v_п}{16v_п - v_п^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{32 - 4v_п}{16v_п - v_п^2} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:
$3(32 - 4v_п) = 1(16v_п - v_п^2)$
$96 - 12v_п = 16v_п - v_п^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v_п^2 - 16v_п - 12v_п + 96 = 0$
$v_п^2 - 28v_п + 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 784 - 384 = 400 = 20^2$

Найдем корни уравнения:
$v_{п1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + 20}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$v_{п2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Получили два возможных значения для скорости пешехода. Проверим каждое из них:
1. Если скорость пешехода $v_п = 24$ км/ч, то скорость велосипедиста $v_в = 16 - 24 = -8$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не удовлетворяет условию задачи.
2. Если скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч, то скорость велосипедиста $v_в = 16 - 4 = 12$ км/ч. Оба значения положительны, и скорость велосипедиста больше скорости пешехода, что логично. Этот корень подходит.

Ответ: скорость пешехода равна 4 км/ч, а скорость велосипедиста — 12 км/ч.