Номер 4, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств - номер 4, страница 66.

Условие.

4. Докажите неравенство $x^2 + 9y^4 + 1 \ge -3xy^2 - x + 3y^2$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 + 9y^4 + 1 \geq -3xy^2 - x + 3y^2$

$x^2 + 9y^4 + 1 + 3xy^2 + x - 3y^2 \geq 0$

Наша задача — доказать, что выражение в левой части неотрицательно для любых действительных значений $x$ и $y$. Для этого преобразуем его, выделив полные квадраты. Чтобы избежать дробей в преобразованиях, умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$4(x^2 + 9y^4 + 1 + 3xy^2 + x - 3y^2) \geq 0$

$4x^2 + 36y^4 + 4 + 12xy^2 + 4x - 12y^2 \geq 0$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части так, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что члены $4x^2$, $12xy^2$ и $4x$ могут быть частью квадрата выражения, содержащего $x$.

Рассмотрим выражение $(2x + 3y^2 + 1)^2$. Его раскрытие дает:

$(2x + 3y^2 + 1)^2 = (2x)^2 + (3y^2)^2 + 1^2 + 2(2x)(3y^2) + 2(2x)(1) + 2(3y^2)(1)$

$= 4x^2 + 9y^4 + 1 + 12xy^2 + 4x + 6y^2$

Сравним это с левой частью нашего неравенства $4x^2 + 36y^4 + 4 + 12xy^2 + 4x - 12y^2$. Мы можем переписать левую часть следующим образом:

$(4x^2 + 12xy^2 + 4x + 9y^4 + 6y^2 + 1) + (36y^4 - 9y^4) + (-12y^2 - 6y^2) + (4 - 1)$

Первая группа слагаемых в скобках — это $(2x + 3y^2 + 1)^2$. Объединим оставшиеся члены:

$(2x + 3y^2 + 1)^2 + 27y^4 - 18y^2 + 3$

Теперь преобразуем вторую часть выражения $27y^4 - 18y^2 + 3$. Вынесем общий множитель 3:

$3(9y^4 - 6y^2 + 1)$

Выражение в скобках $9y^4 - 6y^2 + 1$ является полным квадратом разности $(3y^2 - 1)^2$.

Таким образом, левая часть исходного неравенства (умноженная на 4) тождественно равна:

$(2x + 3y^2 + 1)^2 + 3(3y^2 - 1)^2$

Наше неравенство принимает вид:

$(2x + 3y^2 + 1)^2 + 3(3y^2 - 1)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых действительных $x$ и $y$, так как:

1. $(2x + 3y^2 + 1)^2 \geq 0$ как квадрат любого действительного числа.

2. $(3y^2 - 1)^2 \geq 0$ также как квадрат любого действительного числа.

3. Произведение неотрицательного числа $(3y^2 - 1)^2$ на положительное число 3 также неотрицательно: $3(3y^2 - 1)^2 \geq 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(2x + 3y^2 + 1)^2$ и $3(3y^2 - 1)^2$ всегда неотрицательна.

Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно приводится к виду $(2x + 3y^2 + 1)^2 + 3(3y^2 - 1)^2 \geq 0$, который является истинным для всех действительных $x$ и $y$.