Номер 4, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы - номер 4, страница 65.

Условие.

4. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} x^2 + (y-a)^2 = 16, \\ y - 2|x| + 3 = 0 \end{cases}$ имеет три решения?

Решение.

Проанализируем данную систему уравнений с геометрической и аналитической точек зрения.

Первое уравнение, $x^2 + (y - a)^2 = 16$, задает окружность с центром в точке $C(0, a)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Центр этой окружности всегда лежит на оси ординат (оси OY), а его положение по вертикали определяется параметром $a$.

Второе уравнение, $y - 2|x| + 3 = 0$, можно переписать в виде $y = 2|x| - 3$. Это уравнение задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из одной точки. При $x \ge 0$ имеем $y = 2x - 3$, а при $x < 0$ имеем $y = -2x - 3$. Вершина этого V-образного графика находится в точке, где $x=0$, то есть в точке $V(0, -3)$. График симметричен относительно оси OY.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения окружности и V-образного графика.

Поскольку оба графика симметричны относительно оси OY, то если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 \neq 0$ является решением системы, то и точка $(-x_0, y_0)$ также является решением. Таким образом, количество решений с ненулевой абсциссой всегда четное (0, 2, 4 и т.д.). Чтобы общее количество решений было нечетным (в нашем случае, три), одно из решений должно лежать на оси симметрии, то есть при $x=0$.

Единственная точка графика $y = 2|x| - 3$ на оси OY — это его вершина $V(0, -3)$. Следовательно, для того чтобы система имела нечетное число решений, окружность должна проходить через эту точку. Подставим координаты точки $V(0, -3)$ в уравнение окружности:

$0^2 + (-3 - a)^2 = 16$

$(a + 3)^2 = 16$

Решая это уравнение, получаем два возможных значения для $a$:

$a + 3 = 4 \quad \implies \quad a = 1$

$a + 3 = -4 \quad \implies \quad a = -7$

Теперь необходимо проверить, сколько решений имеет система для каждого из найденных значений $a$.

Случай 1: $a = 1$

Рассмотрим систему при $a=1$: $$ \begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 16 \\ y = 2|x| - 3 \end{cases} $$ Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2|x| - 3 - 1)^2 = 16$, что равносильно $x^2 + (2|x| - 4)^2 = 16$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$:

$t^2 + (2t - 4)^2 = 16$

$t^2 + 4t^2 - 16t + 16 = 16$

$5t^2 - 16t = 0$

$t(5t - 16) = 0$

Получаем два неотрицательных корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{16}{5}$.

- Если $t = |x| = 0$, то $x=0$. Это дает одно решение (вершина $V(0, -3)$).

- Если $t = |x| = \frac{16}{5}$, то $x = \frac{16}{5}$ или $x = -\frac{16}{5}$. Это дает еще два симметричных решения.

Таким образом, при $a=1$ система имеет $1 + 2 = 3$ решения. Это значение параметра нам подходит.

Случай 2: $a = -7$

Рассмотрим систему при $a=-7$: $$ \begin{cases} x^2 + (y + 7)^2 = 16 \\ y = 2|x| - 3 \end{cases} $$ Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2|x| - 3 + 7)^2 = 16$, что равносильно $x^2 + (2|x| + 4)^2 = 16$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$:

$t^2 + (2t + 4)^2 = 16$

$t^2 + 4t^2 + 16t + 16 = 16$

$5t^2 + 16t = 0$

$t(5t + 16) = 0$

Получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{16}{5}$. Так как по определению $t=|x| \ge 0$, подходит только корень $t_1 = 0$.

- Если $t = |x| = 0$, то $x=0$. Это дает только одно решение (вершина $V(0, -3)$).

Таким образом, при $a=-7$ система имеет только одно решение. Это значение параметра нам не подходит. Геометрически это означает, что окружность с центром в $(0, -7)$ касается V-образного графика в его вершине $(0, -3)$, которая является самой верхней точкой окружности. Остальная часть окружности лежит ниже этой точки, в то время как лучи графика уходят вверх.

Единственное значение параметра, при котором система имеет ровно три решения, это $a=1$.

Ответ: $a = 1$.