Номер 3, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Вариант 1. Контрольные работы - номер 3, страница 66.

Условие.

3. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 9.

$\begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 4 \end{cases}$

Рис. 9

Решение.

Заштрихованная на рисунке фигура ограничена двумя линиями: снизу параболой, а сверху — горизонтальной прямой. Чтобы задать эту фигуру системой неравенств, необходимо определить уравнения этих линий и составить соответствующие неравенства.

1. Нахождение уравнения нижней границы (параболы).

Нижняя граница фигуры — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Общее уравнение такой параболы имеет вид $y = ax^2$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся точкой на параболе, координаты которой легко определить из графика. Например, парабола проходит через точку $(2, 4)$. Подставим эти координаты в уравнение:

$4 = a \cdot (2)^2$

$4 = 4a$

$a = 1$

Следовательно, уравнение параболы — $y = x^2$.

Поскольку заштрихованная область находится выше параболы (включая саму линию), все точки этой области удовлетворяют неравенству: $y \ge x^2$.

2. Нахождение уравнения верхней границы (прямой).

Верхняя граница фигуры — это горизонтальная прямая, которая параллельна оси $x$ и проходит через точку $(0, 4)$. Уравнение такой прямой имеет вид $y = 4$.

Поскольку заштрихованная область находится ниже этой прямой (включая саму линию), все точки этой области удовлетворяют неравенству: $y \le 4$.

3. Составление системы неравенств.

Фигура является пересечением областей, заданных двумя найденными неравенствами. Объединив их, мы получаем искомую систему, которая описывает заштрихованную фигуру.

Ответ: $\begin{cases} y \ge x^2 \\ y \le 4 \end{cases}$