Номер 2, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Уравнения с двумя переменными и их системы. Вариант 1. Контрольные работы - номер 2, страница 65.

Условие.

2. Постройте график уравнения $|y - x^2| = |x^2 - 2|$.

Решение.

2.

Исходное уравнение $|y - x^2| = |x^2 - 2|$.

Равенство модулей $|A| = |B|$ равносильно совокупности (то есть выполняется или одно, или другое) двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Применив это свойство к данному уравнению, получим два случая:

1. $y - x^2 = x^2 - 2$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$y = x^2 + x^2 - 2$

$y = 2x^2 - 2$

Это уравнение задает параболу. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$

$y_v = 2(0)^2 - 2 = -2$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

2. $y - x^2 = -(x^2 - 2)$

Раскроем скобки и выразим $y$:

$y - x^2 = -x^2 + 2$

$y = 2$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, которая параллельна оси Ox и проходит через точку $(0, 2)$.

График исходного уравнения является объединением графиков, полученных в этих двух случаях: параболы $y = 2x^2 - 2$ и прямой $y = 2$.

Для более точного построения найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого решим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} y = 2x^2 - 2 \\ y = 2 \end{array} \right.$

Приравняем правые части уравнений:

$2x^2 - 2 = 2$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(-\sqrt{2}, 2)$ и $(\sqrt{2}, 2)$.

Итак, искомый график состоит из параболы $y = 2x^2 - 2$ (с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх) и горизонтальной прямой $y = 2$.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение параболы $y = 2x^2 - 2$ и прямой $y = 2$.