Номер 1, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки. Вариант 1. Контрольные работы - номер 1, страница 64.

Условие.

1. Решите неравенство:

1) $9x^2 - 10x + 1 \geq 0;$

2) $16x^2 - 8x + 1 \leq 0;$

3) $-3x^2 + 2x - 7 < 0.$

Решение.

1) $9x^2 - 10x + 1 \ge 0$

Для решения данного квадратного неравенства мы сначала найдем корни соответствующего ему квадратного уравнения $9x^2 - 10x + 1 = 0$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Мы нашли точки, в которых парабола $y = 9x^2 - 10x + 1$ пересекает ось абсцисс. Так как старший коэффициент $a=9 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, значения функции не меньше нуля ($y \ge 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)$.

2) $16x^2 - 8x + 1 \le 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $16x^2 - 8x + 1$ представляет собой полный квадрат разности, так как $16x^2 = (4x)^2$, $1 = 1^2$, а $-8x = -2 \cdot (4x) \cdot 1$.

Следовательно, неравенство можно переписать в виде: $(4x - 1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(4x - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Таким образом, неравенство $(4x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в единственном случае, когда левая часть равна нулю: $(4x - 1)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Неравенство имеет только одно решение.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

3) $-3x^2 + 2x - 7 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 2x - 7$. Нам нужно определить, при каких значениях $x$ эта функция принимает отрицательные значения.

Графиком данной функции является парабола. Старший коэффициент $a = -3$ отрицателен ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, для чего вычислим дискриминант соответствующего уравнения $-3x^2 + 2x - 7 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-7) = 4 - 84 = -80$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, то вся парабола целиком расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение функции $y = -3x^2 + 2x - 7$ является отрицательным при любом действительном значении $x$.

Следовательно, неравенство $-3x^2 + 2x - 7 < 0$ выполняется для всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.